Kalkulus Contoh

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = e^{x} + 2 x e^{- y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + 2 x e^{- y}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} + 2 x e^{- y}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

Langkah 1.2.2

Karena $e^{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $e^{x}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x e^{- y}$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = e^{y}$ dan $g (y) = - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y])$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{u} \frac{d}{d y} [- y])$

Langkah 1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])$

Langkah 1.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- 1 \cdot 1))$

Langkah 1.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \cdot - 1)$

Langkah 1.3.6

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- 1 \cdot e^{- y})$

Langkah 1.3.7

Tulis kembali $- 1 e^{- y}$ sebagai $- e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- e^{- y})$

Langkah 1.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x e^{- y}$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Kurangi $2 x e^{- y}$ dengan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

Langkah 1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dari $- 2 x e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{- y} x$

Langkah 1.4.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $- 2 e^{- y} x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = e^{x} + e^{- y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- y}]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} + e^{- y}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $e^{- y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $e^{- y}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $e^{x}$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 2 x e^{- y}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $e^{x}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $e^{x}$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{e^{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $- 2 x e^{- y}$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $e^{x} + 2 x e^{- y}$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $e^{x} + 2 x e^{- y}$ untuk $M$ .

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

Langkah 4.3.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

Langkah 4.3.3

Substitusikan $e^{x} + 2 x e^{- y}$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

Langkah 4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan aturan konstanta.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$ dengan faktor integral $e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $e^{x} + 2 x e^{- y}$ dengan $e^{y}$ .

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) e^{y} d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$(e^{x} e^{y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Langkah 6.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(e^{x + y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Langkah 6.4

Kalikan $e^{- y}$ dengan $e^{y}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Pindahkan $e^{y}$ .

$(e^{x + y} + 2 x (e^{y} e^{- y})) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Langkah 6.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(e^{x + y} + 2 x e^{y - y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Langkah 6.4.3

Kurangi $y$ dengan $y$ .

$(e^{x + y} + 2 x e^{0}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Langkah 6.5

Sederhanakan $2 x e^{0}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Langkah 6.6

Kalikan $e^{x} + e^{- y}$ dengan $e^{y}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) e^{y} d y = 0$

Langkah 6.7

Terapkan sifat distributif.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} e^{y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

Langkah 6.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

Langkah 6.9

Kalikan $e^{- y}$ dengan $e^{y}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y + y}) d y = 0$

Langkah 6.9.2

Tambahkan $- y$ dan $y$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{0}) d y = 0$

Langkah 6.10

Sederhanakan $e^{0}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + 1) d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x + y} + 1 d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = e^{x + y} + 1$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int e^{x + y} d y + \int d y$

Langkah 8.2

Biarkan $u = x + y$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Biarkan $u = x + y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Diferensialkan $x + y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y]$

Langkah 8.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 8.2.1.3

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 8.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 8.2.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 8.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int d y$

Langkah 8.3

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C + \int d y$

Langkah 8.4

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = e^{u} + C + y + C$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

$f (x, y) = e^{u} + y + C$

Langkah 8.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + y$ .

$f (x, y) = e^{x + y} + y + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x + y} + 2 x$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y} + y + g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x + y} + y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Langkah 11.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Langkah 11.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Langkah 11.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Langkah 11.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Langkah 11.3.4

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Langkah 11.3.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Langkah 11.3.6

Kalikan $e^{x + y}$ dengan $1$ .

$e^{x + y} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Langkah 11.4

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{x + y} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Langkah 11.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{x + y} + 0 + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

Langkah 11.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.1

Tambahkan $e^{x + y}$ dan $0$ .

$e^{x + y} + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

Langkah 11.6.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + e^{x + y} = e^{x + y} + 2 x$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $e^{x + y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$

Langkah 12.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Kurangi $e^{x + y}$ dengan $e^{x + y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0$

Langkah 12.1.2.2

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

Langkah 13

Temukan $2 x$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

Langkah 13.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$g (x) = 2 \int x d x$

Langkah 13.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 13.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 13.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

Langkah 13.5.2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x + y} + y + x^{2} + C$