Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x - 1$ , $f (0) = - 3$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (x^{4} - x^{3} + x - 1) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int x^{4} - x^{3} + x - 1 d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int x^{4} - x^{3} + x - 1 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int x^{4} d x + \int - x^{3} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int - x^{3} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - \int x^{3} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int x d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.6

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.7

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5}$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $- 3$ untuk $y$ padda $y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + K$ .

$- 3 = \frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$ .

$\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Langkah 4.2

Sederhanakan $\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $0$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Langkah 4.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Langkah 4.2.1.4

Kalikan $- \frac{1}{4} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Langkah 4.2.1.4.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Langkah 4.2.1.5

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 - 0 + K = - 3$

Langkah 4.2.1.6

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$0 + 0 + 0 - 0 + K = - 3$

Langkah 4.2.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + K = - 3$

Langkah 4.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $0 + 0 + 0 + 0 + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 + 0 + 0 + K = - 3$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 + 0 + K = - 3$

Langkah 4.2.2.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 + K = - 3$

Langkah 4.2.2.4

Tambahkan $0$ dan $K$ .

$K = - 3$

Langkah 5

Substitusikan $- 3$ untuk $K$ dalam $y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- 3$ untuk $K$ .

$y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 3$

Langkah 5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{5}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 3$

Langkah 5.2.2

Gabungkan $x^{4}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 3$

Langkah 5.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} - x - 3$