Kalkulus Contoh

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \sqrt{2 x - 1}$

Langkah 1

Integralkan kedua sisi terhadap $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Turunan pertama sama dengan integral dari turunan kedua terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \sqrt{2 x - 1} d x$

Langkah 1.2

Biarkan $u_{1} = 2 x - 1$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Biarkan $u_{1} = 2 x - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Diferensialkan $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Langkah 1.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 1.2.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 1.3

Gabungkan $\sqrt{u_{1}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{2} d u_{1}$

Langkah 1.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Langkah 1.5

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{1}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Langkah 1.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1})$

Langkah 1.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Tulis kembali $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1})$ sebagai $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Langkah 1.7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Langkah 1.7.2.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{6} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Langkah 1.7.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1)}{6} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Langkah 1.7.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Langkah 1.7.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Langkah 1.7.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Langkah 1.8

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Langkah 2

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1}) d x$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1} d x$

Langkah 3.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1} d x$

Langkah 3.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x + \int C_{1} d x$

Langkah 3.3.2

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x + \int C_{1} d x$

Langkah 3.3.3

Biarkan $u_{2} = 2 x - 1$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Biarkan $u_{2} = 2 x - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Diferensialkan $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Langkah 3.3.3.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 3.3.3.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 3.3.3.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 3.3.3.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 3.3.3.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 3.3.3.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 3.3.3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Langkah 3.3.4

Gabungkan ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{2} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Langkah 3.3.5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2}) + \int C_{1} d x$

Langkah 3.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2 \cdot 3} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Langkah 3.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{6} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Langkah 3.3.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{6} (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Langkah 3.3.8

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{2} = \frac{1}{6} (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Langkah 3.3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.9.1

Sederhanakan.

$y + C_{2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Langkah 3.3.9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.9.2.1

Kalikan $\frac{1}{6}$ dengan $\frac{2}{5}$ .

$y + C_{2} = \frac{2}{6 \cdot 5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Langkah 3.3.9.2.2

Kalikan $6$ dengan $5$ .

$y + C_{2} = \frac{2}{30} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Langkah 3.3.9.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $30$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.9.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$y + C_{2} = \frac{2 (1)}{30} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Langkah 3.3.9.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.9.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $30$ .

$y + C_{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Langkah 3.3.9.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Langkah 3.3.9.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{2} = \frac{1}{15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Langkah 3.3.10

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x - 1$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{15} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $D$ .

$y = \frac{1}{15} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + C x + D$