Kalkulus Contoh

$4 x^{2} + 5 y \frac{d y}{d x} = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kurangkan $4 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$5 y \frac{d y}{d x} = - 4 x^{2}$

Langkah 1.1.2

Bagi setiap suku pada $5 y \frac{d y}{d x} = - 4 x^{2}$ dengan $5 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $5 y \frac{d y}{d x} = - 4 x^{2}$ dengan $5 y$ .

$\frac{5 y \frac{d y}{d x}}{5 y} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Langkah 1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 y \frac{d y}{d x}}{5 y} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Langkah 1.1.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Langkah 1.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Langkah 1.1.2.2.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{2}}{5 y}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{4 x^{2}}{5 y})$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{4 x^{2}}{5 y}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x^{2}}{5 y}$

Langkah 1.3.2.2

Faktorkan $y$ dari $5 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x^{2}}{y \cdot 5}$

Langkah 1.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x^{2}}{y \cdot 5}$

Langkah 1.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{2}}{5}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = - \frac{4 x^{2}}{5} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int - \frac{4 x^{2}}{5} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{4 x^{2}}{5} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{4 x^{2}}{5} d x$

Langkah 2.3.2

Karena $\frac{4}{5}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{4}{5}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{4}{5} \int x^{2} d x)$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{5} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Tulis kembali $- \frac{4}{5} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ sebagai $- \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{4}{5}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{3 \cdot 5} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{15} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{4}{15} x^{3} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.1

Gabungkan $x^{3}$ dan $\frac{4}{15}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{3} \cdot 4}{15} + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{4 x^{3}}{15} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 (- \frac{4 x^{3}}{15}) + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Kalikan $2 (- \frac{4 x^{3}}{15})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y^{2} = - 2 \frac{4 x^{3}}{15} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{4 x^{3}}{15}$ .

$y^{2} = \frac{- 2 (4 x^{3})}{15} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$y^{2} = \frac{- 8 x^{3}}{15} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = - \frac{8 x^{3}}{15} + 2 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- \frac{8 x^{3}}{15} + 2 K}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{- \frac{8 x^{3}}{15} + 2 K}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $2$ dari $- \frac{8 x^{3}}{15} + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Faktorkan $2$ dari $- \frac{8 x^{3}}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15}) + 2 K}$

Langkah 3.4.1.2

Faktorkan $2$ dari $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15}) + 2 K}$

Langkah 3.4.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 (- \frac{4 x^{3}}{15}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15} + K)}$

Langkah 3.4.2

Untuk menuliskan $K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15} + K \cdot \frac{15}{15})}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Gabungkan $K$ dan $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15} + \frac{K \cdot 15}{15})}$

Langkah 3.4.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 4 x^{3} + K \cdot 15}{15}}$

Langkah 3.4.4

Pindahkan $15$ ke sebelah kiri $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 4 x^{3} + 15 K}{15}}$

Langkah 3.4.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{- 4 x^{3} + 15 K}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}{15}}$

Langkah 3.4.6

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}{15}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$

Langkah 3.4.7

Kalikan $\frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$ dengan $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Langkah 3.4.8

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$ dengan $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Langkah 3.4.8.2

Naikkan $\sqrt{15}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}}$

Langkah 3.4.8.3

Naikkan $\sqrt{15}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}}$

Langkah 3.4.8.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.4.8.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Langkah 3.4.8.6

Tulis kembali ${\sqrt{15}}^{2}$ sebagai $15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{15}$ sebagai $15^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.4.8.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.4.8.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.8.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.8.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{1}}$

Langkah 3.4.8.6.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15}$

Langkah 3.4.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.9.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K) \cdot 15}}{15}$

Langkah 3.4.9.2

Kalikan $15$ dengan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + K)}}{15}$