Kalkulus Contoh

$3 y^{2} t d y + (y^{3} + 2 t) d t = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali.

$(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y^{3} + 2 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3} + 2 t]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} + 2 t$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [2 t]$

Langkah 2.4

Karena $2 t$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 t$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 0$

Langkah 2.5

Tambahkan $3 y^{2}$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 3 y^{2} t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} t]$

Langkah 3.2

Karena $3 y^{2} t$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y^{2} t$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $3 y^{2}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $0$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} = 0$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$3 y^{2} = 0$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $3 y^{2}$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 5.2

Substitusikan $0$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 y^{2} + 0}{N}$

Langkah 5.3

Substitusikan $3 y^{2} t$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $3 y^{2} t$ untuk $N$ .

$\frac{3 y^{2} + 0}{3 y^{2} t}$

Langkah 5.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $3 y^{2} + 0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 y^{2}$ .

$\frac{3 (y^{2}) + 0}{3 y^{2} t}$

Langkah 5.3.2.2

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$\frac{3 (y^{2}) + 3 \cdot 0}{3 y^{2} t}$

Langkah 5.3.2.3

Faktorkan $3$ dari $3 (y^{2}) + 3 (0)$ .

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 y^{2} t}$

Langkah 5.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Faktorkan $3$ dari $3 y^{2} t$ .

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

Langkah 5.3.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

Langkah 5.3.2.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y^{2} + 0}{y^{2} t}$

Langkah 5.3.3

Tambahkan $y^{2}$ dan $0$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

Langkah 5.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

Langkah 5.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{t}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{t} d x}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int \frac{1}{t} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan aturan konstanta.

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{t} x + C}$

Langkah 6.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gabungkan $\frac{1}{t}$ dan $x$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t} + C}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t}} + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$ dengan faktor integral $e^{\frac{x}{t}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $y^{3} + 2 t$ dengan $e^{\frac{x}{t}}$ .

$(y^{3} + 2 t) e^{\frac{x}{t}} d t + 3 y^{2} t d y = 0$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

Langkah 7.3

Kalikan $3 y^{2} t$ dengan $e^{\frac{x}{t}}$ .

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y$

Langkah 9

Integralkan $N (x, y) = 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Karena $3 t e^{\frac{x}{t}}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $3 t e^{\frac{x}{t}}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \int y^{2} d y$

Langkah 9.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Langkah 9.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Tulis kembali $3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ sebagai $3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 9.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} \frac{3}{3} y^{3} + C$

Langkah 9.3.2.2

Gabungkan $\frac{3}{3}$ dan $t$ .

$f (x, y) = \frac{3 t}{3} e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

Langkah 9.3.2.3

Gabungkan $\frac{3 t}{3}$ dan $e^{\frac{x}{t}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

Langkah 9.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

Langkah 9.3.2.4.2

Bagilah $t e^{\frac{x}{t}}$ dengan $1$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

Langkah 10

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Karena $t y^{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $t e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ terhadap $x$ adalah $t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}]$ .

$t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Langkah 12.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \frac{x}{t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{t}$ .

$t y^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Langkah 12.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$t y^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Langkah 12.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{t}$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Langkah 12.3.3

Karena $\frac{1}{t}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{t}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Langkah 12.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Langkah 12.3.5

Kalikan $\frac{1}{t}$ dengan $1$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{t}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Langkah 12.3.6

Gabungkan $e^{\frac{x}{t}}$ dan $\frac{1}{t}$ .

$t y^{3} \frac{e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Langkah 12.3.7

Gabungkan $t$ dan $\frac{e^{\frac{x}{t}}}{t}$ .

$y^{3} \frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Langkah 12.3.8

Gabungkan $y^{3}$ dan $\frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t}$ .

$\frac{y^{3} (t e^{\frac{x}{t}})}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Langkah 12.3.9

Batalkan faktor persekutuan dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{3} t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Langkah 12.3.9.2

Bagilah $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ dengan $1$ .

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Langkah 12.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Langkah 12.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{\frac{x}{t}} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Kurangkan $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$

Langkah 13.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.2.1

Kurangi $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ dengan $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}} + 0$

Langkah 13.1.2.2

Tambahkan $2 t e^{\frac{x}{t}}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Langkah 14

Temukan $2 t e^{\frac{x}{t}}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

Langkah 14.3

Karena $2 t$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2 t$ keluar dari integral.

$g (x) = 2 t \int e^{\frac{x}{t}} d x$

Langkah 14.4

Biarkan $u = \frac{x}{t}$ . Kemudian $d u = \frac{1}{t} d x$ sehingga $t d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Biarkan $u = \frac{x}{t}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1.1

Diferensialkan $\frac{x}{t}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]$

Langkah 14.4.1.2

Karena $\frac{1}{t}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{t}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 14.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{t} \cdot 1$

Langkah 14.4.1.4

Kalikan $\frac{1}{t}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{t}$

Langkah 14.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$g (x) = 2 t \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{t}} d u$

Langkah 14.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{t}$ .

$g (x) = 2 t \int e^{u} (1 t) d u$

Langkah 14.5.2

Kalikan $t$ dengan $1$ .

$g (x) = 2 t \int e^{u} t d u$

Langkah 14.6

Karena $t$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $t$ keluar dari integral.

$g (x) = 2 t (t \int e^{u} d u)$

Langkah 14.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.7.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$g (x) = 2 (t^{1} t) \int e^{u} d u$

Langkah 14.7.2

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$g (x) = 2 (t^{1} t^{1}) \int e^{u} d u$

Langkah 14.7.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$g (x) = 2 t^{1 + 1} \int e^{u} d u$

Langkah 14.7.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$g (x) = 2 t^{2} \int e^{u} d u$

Langkah 14.8

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$g (x) = 2 t^{2} (e^{u} + C)$

Langkah 14.9

Sederhanakan.

$g (x) = 2 t^{2} e^{u} + C$

Langkah 14.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{t}$ .

$g (x) = 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

Langkah 15

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

Langkah 16

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$ .

$f (x, y) = t y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$