Kalkulus Contoh

$\frac{d u}{d t} = e^{2 u + 4 t}$

Langkah 1

Biarkan $v = e^{2 u + 4 t}$ . Masukkan $v$ untuk semua kejadian $e^{2 u + 4 t}$ .

$\frac{d u}{d t} = v$

Langkah 2

Tentukan $\frac{d v}{d t}$ dengan mendiferensiasikan $e^{2 u + 4 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = e^{t}$ dan $g (t) = 2 u + 4 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 u + 4 t$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [2 u + 4 t]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 u + 4 t]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 u + 4 t$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} \frac{d}{d t} [2 u + 4 t]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 u + 4 t$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [2 u] + \frac{d}{d t} [4 t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (\frac{d}{d t} [2 u] + \frac{d}{d t} [4 t])$

Langkah 2.3

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 u$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [u]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (2 \frac{d}{d t} [u] + \frac{d}{d t} [4 t])$

Langkah 2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d t} [u]$ sebagai $u'$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (2 u' + \frac{d}{d t} [4 t])$

Langkah 2.5

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $4 t$ terhadap $t$ adalah $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (2 u' + 4 \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (2 u' + 4 \cdot 1)$

Langkah 2.7

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (2 u' + 4)$

Langkah 3

Substitusikan $v$ untuk $e^{2 u + 4 t}$ .

$\frac{d v}{d t} = v (2 u' + 4)$

Langkah 4

Substitusikan kembali turunan ke persamaan diferensial.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} - 2 = v$

Langkah 5

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Selesaikan $\frac{d v}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} = v + 2$

Langkah 5.1.2

Kalikan kedua ruas dengan $2 v$ .

$\frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} (2 v) = (v + 2) (2 v)$

Langkah 5.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1.1

Sederhanakan $\frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} (2 v)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} v = (v + 2) (2 v)$

Langkah 5.1.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 v$ .

$2 \frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} v = (v + 2) (2 v)$

Langkah 5.1.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} v = (v + 2) (2 v)$

Langkah 5.1.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v + 2) (2 v)$

Langkah 5.1.3.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v + 2) (2 v)$

Langkah 5.1.3.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d t} = (v + 2) (2 v)$

Langkah 5.1.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.2.1

Sederhanakan $(v + 2) (2 v)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d v}{d t} = v (2 v) + 2 (2 v)$

Langkah 5.1.3.2.1.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.2.1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d v}{d t} = 2 v \cdot v + 2 (2 v)$

Langkah 5.1.3.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{d v}{d t} = 2 v \cdot v + 4 v$

Langkah 5.1.3.2.1.3

Kalikan $v$ dengan $v$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.2.1.3.1

Pindahkan $v$ .

$\frac{d v}{d t} = 2 (v \cdot v) + 4 v$

Langkah 5.1.3.2.1.3.2

Kalikan $v$ dengan $v$ .

$\frac{d v}{d t} = 2 v^{2} + 4 v$

Langkah 5.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{2 v^{2} + 4 v}$ .

$\frac{1}{2 v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{2 v^{2} + 4 v} (2 v^{2} + 4 v)$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2 v^{2} + 4 v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{2 v^{2} + 4 v} (2 v^{2} + 4 v)$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2 v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d t} = 1$

Langkah 5.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{2 v^{2} + 4 v} d v = 1 d t$

Langkah 6

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{2 v^{2} + 4 v} d v = \int d t$

Langkah 6.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Faktorkan $2 v$ dari $2 v^{2} + 4 v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1.1

Faktorkan $2 v$ dari $2 v^{2}$ .

$\frac{1}{2 v \cdot v + 4 v}$

Langkah 6.2.1.1.1.2

Faktorkan $2 v$ dari $4 v$ .

$\frac{1}{2 v \cdot v + 2 v \cdot 2}$

Langkah 6.2.1.1.1.3

Faktorkan $2 v$ dari $2 v \cdot v + 2 v \cdot 2$ .

$\frac{1}{2 v (v + 2)}$

Langkah 6.2.1.1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.3

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $2 v (v + 2)$ .

$\frac{1 (2 v (v + 2))}{2 v (v + 2)} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (2 v (v + 2))}{2 v (v + 2)} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (v (v + 2))}{v (v + 2)} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (v (v + 2))}{v (v + 2)} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (v + 2)}{v + 2} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $v + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (v + 2)}{v + 2} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.7.1

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.7.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.7.1.2

Bagilah $A (2 (v + 2))$ dengan $1$ .

$1 = A (2 (v + 2)) + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.7.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$1 = 2 A (v + 2) + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.7.3

Terapkan sifat distributif.

$1 = 2 A v + 2 A \cdot 2 + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.7.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$1 = 2 A v + 4 A + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.7.5

Batalkan faktor persekutuan dari $v + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.7.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = 2 A v + 4 A + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.7.5.2

Bagilah $B (2 v)$ dengan $1$ .

$1 = 2 A v + 4 A + B (2 v)$

Langkah 6.2.1.1.7.6

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$1 = 2 A v + 4 A + 2 B v$

Langkah 6.2.1.1.8

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.8.1

Pindahkan $A$ .

$1 = 2 v A + 4 A + 2 B v$

Langkah 6.2.1.1.8.2

Pindahkan $B$ .

$1 = 2 v A + 4 A + 2 v B$

Langkah 6.2.1.1.8.3

Pindahkan $4 A$ .

$1 = 2 v A + 2 v B + 4 A$

Langkah 6.2.1.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $v$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = 2 A + 2 B$

Langkah 6.2.1.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $v$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = 4 A$

Langkah 6.2.1.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = 2 A + 2 B$

$1 = 4 A$

$0 = 2 A + 2 B$

$1 = 4 A$

Langkah 6.2.1.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.1

Selesaikan $A$ dalam $1 = 4 A$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$0 = 2 A + 2 B$

Langkah 6.2.1.3.1.2

Bagi setiap suku pada $4 A = 1$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.1.2.1

Bagilah setiap suku di $4 A = 1$ dengan $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

Langkah 6.2.1.3.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

Langkah 6.2.1.3.1.2.2.1.2

Bagilah $A$ dengan $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

Langkah 6.2.1.3.2

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $\frac{1}{4}$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $0 = 2 A + 2 B$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$0 = 2 (\frac{1}{4}) + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Langkah 6.2.1.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.2.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$0 = 2 (\frac{1}{2 (2)}) + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Langkah 6.2.1.3.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$0 = 2 (\frac{1}{2 \cdot 2}) + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Langkah 6.2.1.3.2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$0 = \frac{1}{2} + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = \frac{1}{2} + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = \frac{1}{2} + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = \frac{1}{2} + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Langkah 6.2.1.3.3

Selesaikan $B$ dalam $0 = \frac{1}{2} + 2 B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{2} + 2 B = 0$ .

$\frac{1}{2} + 2 B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

Langkah 6.2.1.3.3.2

Kurangkan $\frac{1}{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

Langkah 6.2.1.3.3.3

Bagi setiap suku pada $2 B = - \frac{1}{2}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.3.3.1

Bagilah setiap suku di $2 B = - \frac{1}{2}$ dengan $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

Langkah 6.2.1.3.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 B}{2} = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

Langkah 6.2.1.3.3.3.2.1.2

Bagilah $B$ dengan $1$ .

$B = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

Langkah 6.2.1.3.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.3.3.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$B = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

Langkah 6.2.1.3.3.3.3.2

Kalikan $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.3.3.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$B = - \frac{1}{2 \cdot 2}$

$A = \frac{1}{4}$

Langkah 6.2.1.3.3.3.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Langkah 6.2.1.3.4

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$B = - \frac{1}{4} A = \frac{1}{4}$

Langkah 6.2.1.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$B = - \frac{1}{4}, A = \frac{1}{4}$

Langkah 6.2.1.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 2}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{v} + \frac{- \frac{1}{4}}{v + 2}$

Langkah 6.2.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.5.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{v} + \frac{- \frac{1}{4}}{v + 2}$

Langkah 6.2.1.5.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{4 v} + \frac{- \frac{1}{4}}{v + 2}$

Langkah 6.2.1.5.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{4 v} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{v + 2}$

Langkah 6.2.1.5.4

Kalikan $\frac{1}{v + 2}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4 v} - \frac{1}{(v + 2) \cdot 4}$

Langkah 6.2.1.5.5

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $v + 2$ .

$\int \frac{1}{4 v} - \frac{1}{4 (v + 2)} d v = \int d t$

Langkah 6.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{1}{4 v} d v + \int - \frac{1}{4 (v + 2)} d v = \int d t$

Langkah 6.2.3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $v$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{1}{4 (v + 2)} d v = \int d t$

Langkah 6.2.4

Integral dari $\frac{1}{v}$ terhadap $v$ adalah $\ln (| v |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int - \frac{1}{4 (v + 2)} d v = \int d t$

Langkah 6.2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $v$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \int \frac{1}{4 (v + 2)} d v = \int d t$

Langkah 6.2.6

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $v$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{v + 2} d v) = \int d t$

Langkah 6.2.7

Biarkan $u_{2} = v + 2$ . Kemudian $d u_{2} = d v$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.1

Biarkan $u_{2} = v + 2$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.1.1

Diferensialkan $v + 2$ .

$\frac{d}{d v} [v + 2]$

Langkah 6.2.7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $v + 2$ terhadap $v$ adalah $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$

Langkah 6.2.7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ adalah $n v^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [2]$

Langkah 6.2.7.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $v$ , turunan dari $2$ terhadap $v$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 6.2.7.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 6.2.7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Langkah 6.2.8

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d t$

Langkah 6.2.9

Sederhanakan.

$\frac{1}{4} \ln (| v |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Langkah 6.3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{4} \ln (| v |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = t + C_{4}$

Langkah 6.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| v |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) = t + C$

Langkah 7

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\ln (| v |)$ .

$\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) = t + C$

Langkah 7.1.1.2

Gabungkan $\ln (| u_{2} |)$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} = t + C$

Langkah 7.2

Kalikan setiap suku pada $\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} = t + C$ dengan $4$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} = t + C$ dengan $4$ .

$\frac{\ln (| v |)}{4} \cdot 4 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\ln (| v |)}{4} \cdot 4 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

Langkah 7.2.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| v |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

Langkah 7.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\ln (| u_{2} |)}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

Langkah 7.2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

Langkah 7.2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = t \cdot 4 + C \cdot 4$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $t$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 4 \cdot t + C \cdot 4$

Langkah 7.2.3.1.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 4 t + 4 C$

Langkah 7.3

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 4 t + 4 C$

Langkah 7.4

Untuk menyelesaikan $v$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{4 t + 4 C}$

Langkah 7.5

Tulis kembali $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 4 t + 4 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{4 t + 4 C} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Langkah 7.6

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{4 t + 4 C}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{4 t + 4 C}$

Langkah 7.6.2

Kalikan kedua ruas dengan $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{4 t + 4 C} | u_{2} |$

Langkah 7.6.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| u_{2} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{4 t + 4 C} | u_{2} |$

Langkah 7.6.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| v | = e^{4 t + 4 C} | u_{2} |$

Langkah 7.6.4

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{4 t + 4 C} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{4 t + 4 C}$

Langkah 7.6.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{4 t + 4 C}$

Langkah 8

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$v = \pm | u_{2} | e^{4 t + C}$

Langkah 8.2

Tulis kembali $e^{4 t + C}$ sebagai $e^{4 t} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{4 t} e^{C})$

Langkah 8.3

Susun kembali $e^{4 t}$ dan $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{4 t})$

Langkah 8.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$v = C | u_{2} | e^{4 t}$

Langkah 9

Ganti semua kemunculan $v$ dengan $e^{2 u + 4 t}$ .

$e^{2 u + 4 t} = C | u_{2} | e^{4 t}$