Kalkulus Contoh

$\frac{d P}{d t} = 500 - 0.12 P$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{500 - 0.12 P}$ .

$\frac{1}{500 - 0.12 P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{500 - 0.12 P} (500 - 0.12 P)$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $500 - 0.12 P$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{500 - 0.12 P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{500 - 0.12 P} (500 - 0.12 P)$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{500 - 0.12 P} \frac{d P}{d t} = 1$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{500 - 0.12 P} d P = 1 d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{500 - 0.12 P} d P = \int d t$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = 500 - 0.12 P$ . Kemudian $d u = - 0.12 d P$ sehingga $\frac{1}{- 0.12} d u = d P$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = 500 - 0.12 P$ . Tentukan $\frac{d u}{d P}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $500 - 0.12 P$ .

$\frac{d}{d P} [500 - 0.12 P]$

Langkah 2.2.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $500 - 0.12 P$ terhadap $P$ adalah $\frac{d}{d P} [500] + \frac{d}{d P} [- 0.12 P]$ .

$\frac{d}{d P} [500] + \frac{d}{d P} [- 0.12 P]$

Langkah 2.2.1.1.2.2

Karena $500$ konstan terhadap $P$ , turunan dari $500$ terhadap $P$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d P} [- 0.12 P]$

Langkah 2.2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d P} [- 0.12 P]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.3.1

Karena $- 0.12$ konstan terhadap $P$ , turunan dari $- 0.12 P$ terhadap $P$ adalah $- 0.12 \frac{d}{d P} [P]$ .

$0 - 0.12 \frac{d}{d P} [P]$

Langkah 2.2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ adalah $n P^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - 0.12 \cdot 1$

Langkah 2.2.1.1.3.3

Kalikan $- 0.12$ dengan $1$ .

$0 - 0.12$

Langkah 2.2.1.1.4

Kurangi $0.12$ dengan $0$ .

$- 0.12$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 0.12} d u = \int d t$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{0.12}) d u = \int d t$

Langkah 2.2.2.2

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{0.12}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 0.12} d u = \int d t$

Langkah 2.2.2.3

Pindahkan $0.12$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int - \frac{1}{0.12 u} d u = \int d t$

Langkah 2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{0.12 u} d u = \int d t$

Langkah 2.2.4

Karena $\frac{1}{0.12}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{0.12}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{0.12} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{0.12} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Tulis kembali $- \frac{1}{0.12} (\ln (| u |) + C_{1})$ sebagai $- 1 \cdot 8.\overline{3} \ln (| u |) + C_{1}$ .

$- 1 \cdot 8.\overline{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Langkah 2.2.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $8.\overline{3}$ .

$- 8.\overline{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Langkah 2.2.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $500 - 0.12 P$ .

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) + C_{1} = \int d t$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) + C_{1} = t + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) = t + C$

Langkah 3

Selesaikan $P$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) = t + C$ dengan $- 8.\overline{3}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) = t + C$ dengan $- 8.\overline{3}$ .

$\frac{- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |)}{- 8.\overline{3}} = \frac{t}{- 8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 8.\overline{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |)}{- 8.\overline{3}} = \frac{t}{- 8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Langkah 3.1.2.1.2

Bagilah $\ln (| 500 - 0.12 P |)$ dengan $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = \frac{t}{- 8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - \frac{t}{8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Langkah 3.1.3.1.2

Kalikan dengan $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - \frac{1 t}{8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Langkah 3.1.3.1.3

Faktorkan $8.\overline{3}$ dari $8.\overline{3}$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - \frac{1 t}{8.\overline{3} (1)} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Langkah 3.1.3.1.4

Pisahkan pecahan.

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - (\frac{1}{8.\overline{3}} \cdot \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Langkah 3.1.3.1.5

Bagilah $1$ dengan $8.\overline{3}$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - (0.12 \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Langkah 3.1.3.1.6

Bagilah $t$ dengan $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - (0.12 t) + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Langkah 3.1.3.1.7

Kalikan $0.12$ dengan $- 1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Langkah 3.1.3.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - \frac{C}{8.\overline{3}}$

Langkah 3.1.3.1.9

Kalikan dengan $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - \frac{1 C}{8.\overline{3}}$

Langkah 3.1.3.1.10

Faktorkan $8.\overline{3}$ dari $8.\overline{3}$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - \frac{1 C}{8.\overline{3} (1)}$

Langkah 3.1.3.1.11

Pisahkan pecahan.

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - (\frac{1}{8.\overline{3}} \cdot \frac{C}{1})$

Langkah 3.1.3.1.12

Bagilah $1$ dengan $8.\overline{3}$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - (0.12 \frac{C}{1})$

Langkah 3.1.3.1.13

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - (0.12 C)$

Langkah 3.1.3.1.14

Kalikan $0.12$ dengan $- 1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - 0.12 C$

Langkah 3.2

Untuk menyelesaikan $P$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 500 - 0.12 P |)} = e^{- 0.12 t - 0.12 C}$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - 0.12 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- 0.12 t - 0.12 C} = | 500 - 0.12 P |$

Langkah 3.4

Selesaikan $P$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 500 - 0.12 P | = e^{- 0.12 t - 0.12 C}$ .

$| 500 - 0.12 P | = e^{- 0.12 t - 0.12 C}$

Langkah 3.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$500 - 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}$

Langkah 3.4.3

Kurangkan $500$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C} - 500$

Langkah 3.4.4

Bagi setiap suku pada $- 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C} - 500$ dengan $- 0.12$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Bagilah setiap suku di $- 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C} - 500$ dengan $- 0.12$ .

$\frac{- 0.12 P}{- 0.12} = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Langkah 3.4.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 0.12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 0.12 P}{- 0.12} = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Langkah 3.4.4.2.1.2

Bagilah $P$ dengan $1$ .

$P = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Langkah 3.4.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1.1

Sederhanakan $\frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12}$ .

$P = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Langkah 3.4.4.3.1.2

Kalikan dengan $1$ .

$P = \frac{1 (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C})}{0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Langkah 3.4.4.3.1.3

Faktorkan $0.12$ dari $0.12$ .

$P = \frac{1 (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C})}{0.12 (1)} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Langkah 3.4.4.3.1.4

Pisahkan pecahan.

$P = \frac{1}{0.12} \cdot \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{1} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Langkah 3.4.4.3.1.5

Bagilah $1$ dengan $0.12$ .

$P = 8.\overline{3} \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{1} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Langkah 3.4.4.3.1.6

Bagilah $\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}$ dengan $1$ .

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}) + \frac{- 500}{- 0.12}$

Langkah 3.4.4.3.1.7

Bagilah $- 500$ dengan $- 0.12$ .

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}) + 4166.\overline{6}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t + C}) + 4166.\overline{6}$

Langkah 4.2

Tulis kembali $e^{- 0.12 t + C}$ sebagai $e^{- 0.12 t} e^{C}$ .

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t} e^{C}) + 4166.\overline{6}$

Langkah 4.3

Susun kembali $e^{- 0.12 t}$ dan $e^{C}$ .

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{C} e^{- 0.12 t}) + 4166.\overline{6}$

Langkah 4.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$P = 8.\overline{3} (C e^{- 0.12 t}) + 4166.\overline{6}$