Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik Bernoulli.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} - 2 y = 4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

Langkah 1.3

Faktorkan $x$ dari $4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x}$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x^{1}}$

Langkah 1.4.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Langkah 1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Langkah 1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}}{1}$

Langkah 1.4.5

Bagilah $4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.5

Faktorkan $y$ dari $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.6

Susun kembali $y$ dan $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, biarkan $v = y^{1 - n}$ di mana $n$ adalah eksponen dari $y^{\frac{1}{2}}$ .

$v = y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 3

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

$y = v^{2}$

Langkah 4

Ambil turunan dari $y$ terhadap $x$ .

$y' = v^{2}$

Langkah 5

Ambil turunan dari $v^{2}$ terhadap $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ambil turunan dari $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

Langkah 5.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $v$ .

$y' = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

Langkah 5.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y' = 2 u \frac{d}{d x} [v]$

Langkah 5.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

Langkah 5.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [v]$ sebagai $v'$ .

$y' = 2 v v'$

Langkah 6

Substitusikan $2 v v'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ dan $v^{2}$ dengan $y$ dalam persamaan asli $\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v v' + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 7

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Bagi setiap suku pada $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan $2 v$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Bagilah setiap suku di $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan $2 v$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.2.2

Bagilah $\frac{d v}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $v^{2}$ dan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1.3.1

Faktorkan $v$ dari $\frac{- 2}{x} v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1.3.2.1

Faktorkan $v$ dari $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2}{x} v}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.4

Gabungkan $\frac{- 2}{x}$ dan $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2 v}{x}}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- \frac{2 v}{x}}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1.7.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2 v}{x}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2 v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.7.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 (- v)}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.7.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 (- v)}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.7.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 v}$

Langkah 7.1.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 (v)}$

Langkah 7.1.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 v}$

Langkah 7.1.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{v}$

Langkah 7.1.1.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.3.1

Kalikan eksponen dalam ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{2 (\frac{1}{2})}}{v}$

Langkah 7.1.1.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{2 (\frac{1}{2})}}{v}$

Langkah 7.1.1.3.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{1}}{v}$

Langkah 7.1.1.3.3.2

Sederhanakan.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v}{v}$

Langkah 7.1.1.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v}{v}$

Langkah 7.1.1.3.4.2

Bagilah $2 x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = 2 x^{2}$

Langkah 7.1.2

Faktorkan $v$ dari $- \frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{1}{x}) = 2 x^{2}$

Langkah 7.1.3

Susun kembali $v$ dan $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = 2 x^{2}$

Langkah 7.2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Langkah 7.2.2

Integralkan $- \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 7.2.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 7.2.2.3

Sederhanakan.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Langkah 7.2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- \ln (x)}$

Langkah 7.2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Langkah 7.2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 1}$

Langkah 7.2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 7.3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Langkah 7.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Langkah 7.3.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Langkah 7.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Langkah 7.3.2.4

Kalikan $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.4.1

Kalikan $\frac{v}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Langkah 7.3.2.4.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Langkah 7.3.2.4.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Langkah 7.3.2.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Langkah 7.3.2.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Langkah 7.3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = 2 \frac{1}{x} x^{2}$

Langkah 7.3.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} x^{2}$

Langkah 7.3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} (x \cdot x)$

Langkah 7.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} (x \cdot x)$

Langkah 7.3.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = 2 x$

Langkah 7.4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = 2 x$

Langkah 7.5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int 2 x d x$

Langkah 7.6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x} v = \int 2 x d x$

Langkah 7.7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x} v = 2 \int x d x$

Langkah 7.7.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 7.7.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.3.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 7.7.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Langkah 7.7.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Langkah 7.7.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{x} v = 1 x^{2} + C$

Langkah 7.7.3.2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x} v = x^{2} + C$

Langkah 7.8

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $v$ .

$\frac{v}{x} = x^{2} + C$

Langkah 7.8.2

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{v}{x} x = (x^{2} + C) x$

Langkah 7.8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{v}{x} x = (x^{2} + C) x$

Langkah 7.8.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$v = (x^{2} + C) x$

Langkah 7.8.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.3.2.1

Sederhanakan $(x^{2} + C) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$v = x^{2} x + C x$

Langkah 7.8.3.2.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.3.2.1.2.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.3.2.1.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$v = x^{2} x^{1} + C x$

Langkah 7.8.3.2.1.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$v = x^{2 + 1} + C x$

Langkah 7.8.3.2.1.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$v = x^{3} + C x$

Langkah 8

Substitusikan $y^{\frac{1}{2}}$ untuk $v$ .

$y^{\frac{1}{2}} = x^{3} + C x$