Kalkulus Contoh

$x (\frac{d y}{d x}) = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$

Langkah 1

Bagi setiap suku pada $x \frac{d y}{d x} = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Langkah 1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Langkah 1.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Langkah 1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Langkah 1.3.1.2

Bagilah $2 e^{- \frac{y}{x}}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 e^{- \frac{y}{x}}$

Langkah 2

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 2 e^{- V}$

Langkah 3

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 4

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 5

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2 e^{- V}$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d V}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 e^{- V} - V$

Langkah 6.1.1.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $V + 2 e^{- V} - V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.2.1

Kurangi $V$ dengan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V} + 0$

Langkah 6.1.1.1.2.2

Tambahkan $2 e^{- V}$ dan $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$

Langkah 6.1.1.2

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

Langkah 6.1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

Langkah 6.1.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

Langkah 6.1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{e^{- V}}$ .

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{e^{- V}} \cdot \frac{2 e^{- V}}{x}$

Langkah 6.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Gabungkan.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (2 e^{- V})}{e^{- V} x}$

Langkah 6.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- V}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (2 e^{- V})}{e^{- V} x}$

Langkah 6.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cdot (2)}{x}$

Langkah 6.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

Langkah 6.1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{e^{- V}} d V = \frac{2}{x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{e^{- V}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 6.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Tiadakan eksponen dari $e^{- V}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\int 1 {(e^{- V})}^{- 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{- V})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- V \cdot - 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.2.1.2

Kalikan $- V \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.2.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\int 1 e^{1 V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.2.1.2.2

Kalikan $V$ dengan $1$ .

$\int 1 e^{V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.2.2

Kalikan $e^{V}$ dengan $1$ .

$\int e^{V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 6.2.2.2

Integral dari $e^{V}$ terhadap $V$ adalah $e^{V}$ .

$e^{V} + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 6.2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{V} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{V} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 6.2.3.3

Sederhanakan.

$e^{V} + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$e^{V} = 2 \ln (| x |) + C$

Langkah 6.3

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{V}) = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Langkah 6.3.2

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Perluas $\ln (e^{V})$ dengan memindahkan $V$ ke luar logaritma.

$V \ln (e) = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Langkah 6.3.2.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$V \cdot 1 = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Langkah 6.3.2.3

Kalikan $V$ dengan $1$ .

$V = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Langkah 6.3.3

Perluas $\ln (x^{2})$ dengan memindahkan $2$ ke luar logaritma.

$V = \ln (2 \ln (x) + C)$

Langkah 6.3.4

Sederhanakan $2 \ln (x)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$V = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$\frac{y}{x} = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Langkah 8

Selesaikan $\frac{y}{x} = \ln (\ln (x^{2}) + C)$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

Langkah 8.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (\ln (x^{2}) + C) x$ .

$y = x \ln (\ln (x^{2}) + C)$