Kalkulus Contoh

$2 x (y d) x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y]$

Langkah 1.2

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1$

Langkah 1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = y^{2} - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} - x^{2}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.2.2

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - (2 x)$

Langkah 2.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 x$

Langkah 2.4

Kurangi $2 x$ dengan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 x$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 2 x$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = - 2 x$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$2 x = - 2 x$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 2 x$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $2 x$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 x - (2 x)}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $2 x y$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $2 x y$ untuk $M$ .

$\frac{- 2 x - (2 x)}{2 x y}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $- 2 x - 1 \cdot 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Faktorkan $x$ dari $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2 - 1 \cdot 2 x}{2 x y}$

Langkah 4.3.2.1.2

Faktorkan $x$ dari $- 1 \cdot 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2 + x (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Langkah 4.3.2.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot - 2 + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x (- 2 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{x (- 2 - 2)}{2 x y}$

Langkah 4.3.2.3

Kurangi $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{x \cdot - 4}{2 x y}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \cdot - 4}{2 x y}$

Langkah 4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 4}{2 y}$

Langkah 4.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

Langkah 4.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 y$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (y)}$

Langkah 4.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

Langkah 4.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2}{y}$

Langkah 4.3.5

Substitusikan $2 x y$ untuk $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Langkah 5.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Langkah 5.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $- 2$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Langkah 5.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Langkah 5.6.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{- 2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Langkah 5.6.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $2 x y d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{y^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $2 x y$ dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$2 x y \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $y$ dari $2 x y$ .

$y (2 x) \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Langkah 6.2.2

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$y (2 x) \frac{1}{y \cdot y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Langkah 6.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y (2 x) \frac{1}{y \cdot y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Langkah 6.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$2 x \frac{1}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Langkah 6.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{y}$ .

$x \frac{2}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Langkah 6.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{y}$ .

$\frac{x \cdot 2}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Langkah 6.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{2 x}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Langkah 6.6

Kalikan $y^{2} - x^{2}$ dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 6.7

Kalikan $y^{2} - x^{2}$ dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x}{y} d x + \frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 6.8

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = y$ dan $b = x$ .

$\frac{2 x}{y} d x + \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = \frac{2 x}{y}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $\frac{2}{y}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{2}{y}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = \frac{2}{y} \int x d x$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 8.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Tulis kembali $\frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $\frac{2}{y} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Kalikan $\frac{2}{y}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y \cdot 2} x^{2} + C$

Langkah 8.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 \cdot y} x^{2} + C$

Langkah 8.3.2.3

Kalikan $2$ dengan $y$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 y} x^{2} + C$

Langkah 8.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{2}{2 y} x^{2} + C$

Langkah 8.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x^{2} + C$

Langkah 8.3.2.5

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y} + g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x^{2}}{y} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{x^{2}}{y}$ terhadap $y$ adalah $x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Langkah 11.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{y}$ sebagai $y^{- 1}$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Langkah 11.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Langkah 11.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Langkah 11.5.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Langkah 11.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1

Kurangkan $\frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - (y + x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + (- y - x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.2

Perluas $(- y - x) (y - x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y (y - x) - x (y - x)}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y \cdot y - y (- x) - x (y - x)}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y \cdot y - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.3.3.1.1

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.3.3.1.1.1

Pindahkan $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - (y \cdot y) - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.3.1.1.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.3.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + 1 y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.3.1.4

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.3.1.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.3.1.6

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.3.3.1.6.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.3.1.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.3.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y + 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.3.1.8

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.3.2

Kurangi $x y$ dengan $y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.3.3.2.1

Susun kembali $y$ dan $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + x y - x y + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.3.2.2

Kurangi $x y$ dengan $x y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + 0 + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.3.3

Tambahkan $- y^{2}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.4

Gabungkan suku balikan dalam $- x^{2} - y^{2} + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.4.1

Tambahkan $- x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2} + 0}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.4.2

Tambahkan $- y^{2}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.5.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 = 0$

Langkah 12.1.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} = 1$

Langkah 13

Temukan $1$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Langkah 13.3

Terapkan aturan konstanta.

$g (y) = y + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + y + C$