Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x y^{2}$ , $y (0) = 5$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (x y^{2})$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $x y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x)$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x)$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{2}} d y = x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int x d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int x d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int x d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int x d x$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $- y^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x d x$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Langkah 3.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y, 2, 1$

Langkah 3.2.2

Karena $y, 2, 1$ memiliki bilangan dan variabel, ada dua langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian numerik $1, 2, 1$ kemudian temukan KPK untuk bagian variabel $y^{1}$ .

Langkah 3.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 3.2.4

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 3.2.5

Karena $2$ tidak memiliki faktor selain $1$ dan $2$ .

$2$ adalah bilangan prima

Langkah 3.2.6

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 3.2.7

KPK dari $1, 2, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$2$

Langkah 3.2.8

Faktor untuk $y^{1}$ adalah $y$ itu sendiri.

$y^{1} = y$

$y$ terjadi $1$ kali.

Langkah 3.2.9

KPK dari $y^{1}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y$

Langkah 3.2.10

KPK untuk $y, 2, 1$ adalah bagian bilangan $2$ dikalikan dengan bagian variabel.

$2 y$

Langkah 3.3

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{y} = \frac{x^{2}}{2} + K$ dengan $2 y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{y} = \frac{x^{2}}{2} + K$ dengan $2 y$ .

$- \frac{1}{y} (2 y) = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{y} (2 y) = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Langkah 3.3.2.1.2

Faktorkan $y$ dari $2 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Langkah 3.3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Langkah 3.3.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} y + K (2 y)$

Langkah 3.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} y + K (2 y)$

Langkah 3.3.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 = x^{2} y + K (2 y)$

Langkah 3.3.3.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 2 = x^{2} y + 2 K y$

Langkah 3.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x^{2} y + 2 K y = - 2$ .

$x^{2} y + 2 K y = - 2$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $y$ dari $x^{2} y + 2 K y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Faktorkan $y$ dari $x^{2} y$ .

$y x^{2} + 2 K y = - 2$

Langkah 3.4.2.2

Faktorkan $y$ dari $2 K y$ .

$y x^{2} + y (2 K) = - 2$

Langkah 3.4.2.3

Faktorkan $y$ dari $y x^{2} + y (2 K)$ .

$y (x^{2} + 2 K) = - 2$

Langkah 3.4.3

Bagi setiap suku pada $y (x^{2} + 2 K) = - 2$ dengan $x^{2} + 2 K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Bagilah setiap suku di $y (x^{2} + 2 K) = - 2$ dengan $x^{2} + 2 K$ .

$\frac{y (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.3.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{2}{x^{2} + 2 K}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - \frac{2}{x^{2} + K}$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $5$ untuk $y$ padda $y = - \frac{2}{x^{2} + K}$ .

$5 = - \frac{2}{0^{2} + K}$

Langkah 6

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \frac{2}{0^{2} + K} = 5$ .

$- \frac{2}{0^{2} + K} = 5$

Langkah 6.2

Faktorkan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{2}{0 + K} = 5$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $0$ dan $K$ .

$- \frac{2}{K} = 5$

Langkah 6.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$K, 1$

Langkah 6.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$K$

Langkah 6.4

Kalikan setiap suku pada $- \frac{2}{K} = 5$ dengan $K$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{2}{K} = 5$ dengan $K$ .

$- \frac{2}{K} K = 5 K$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2}{K}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 2}{K} K = 5 K$

Langkah 6.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2}{K} K = 5 K$

Langkah 6.4.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 = 5 K$

Langkah 6.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $5 K = - 2$ .

$5 K = - 2$

Langkah 6.5.2

Bagi setiap suku pada $5 K = - 2$ dengan $5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Bagilah setiap suku di $5 K = - 2$ dengan $5$ .

$\frac{5 K}{5} = \frac{- 2}{5}$

Langkah 6.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 K}{5} = \frac{- 2}{5}$

Langkah 6.5.2.2.1.2

Bagilah $K$ dengan $1$ .

$K = \frac{- 2}{5}$

Langkah 6.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$K = - \frac{2}{5}$

Langkah 7

Substitusikan $- \frac{2}{5}$ untuk $K$ dalam $y = - \frac{2}{x^{2} + K}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $- \frac{2}{5}$ untuk $K$ .

$y = - \frac{2}{x^{2} - \frac{2}{5}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Untuk menuliskan $x^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{2}{x^{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2}{5}}$

Langkah 7.2.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{2}{\frac{x^{2} \cdot 5}{5} - \frac{2}{5}}$

Langkah 7.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{2}{\frac{x^{2} \cdot 5 - 2}{5}}$

Langkah 7.2.4

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$y = - \frac{2}{\frac{5 x^{2} - 2}{5}}$

Langkah 7.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = - (2 \frac{5}{5 x^{2} - 2})$

Langkah 7.4

Kalikan $2 \frac{5}{5 x^{2} - 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{5}{5 x^{2} - 2}$ .

$y = - \frac{2 \cdot 5}{5 x^{2} - 2}$

Langkah 7.4.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$y = - \frac{10}{5 x^{2} - 2}$