Kalkulus Contoh

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} y^{6} - 6 x^{4}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $3 x^{4}$ dari $3 x^{4} y^{6} - 6 x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $3 x^{4}$ dari $3 x^{4} y^{6}$ .

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6}) - 6 x^{4}$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $3 x^{4}$ dari $- 6 x^{4}$ .

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6}) + 3 x^{4} (- 2)$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $3 x^{4}$ dari $3 x^{4} (y^{6}) + 3 x^{4} (- 2)$ .

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6} - 2)$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{6} - 2}$ .

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{6} - 2} (3 x^{4} (y^{6} - 2))$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = 3 \frac{1}{y^{6} - 2} (x^{4} (y^{6} - 2))$

Langkah 1.3.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{y^{6} - 2}$ .

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} (x^{4} (y^{6} - 2))$

Langkah 1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{6} - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Faktorkan $y^{6} - 2$ dari $x^{4} (y^{6} - 2)$ .

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} ((y^{6} - 2) x^{4})$

Langkah 1.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} ((y^{6} - 2) x^{4})$

Langkah 1.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = 3 x^{4}$

Langkah 1.4

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$\frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} d y = 3 x^{4} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} d y = \int 3 x^{4} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan $\frac{1}{y^{6} - 2}$ dan $y^{5}$ .

$\int \frac{y^{5}}{y^{6} - 2} d y = \int 3 x^{4} d x$

Langkah 2.2.2

Biarkan $u = y^{6} - 2$ . Kemudian $d u = 6 y^{5} d y$ sehingga $\frac{1}{6} d u = y^{5} d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Biarkan $u = y^{6} - 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Diferensialkan $y^{6} - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6} - 2]$

Langkah 2.2.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{6} - 2$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Langkah 2.2.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 6$ .

$6 y^{5} + \frac{d}{d y} [- 2]$

Langkah 2.2.2.1.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$6 y^{5} + 0$

Langkah 2.2.2.1.5

Tambahkan $6 y^{5}$ dan $0$ .

$6 y^{5}$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u = \int 3 x^{4} d x$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 6} d u = \int 3 x^{4} d x$

Langkah 2.2.3.2

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int \frac{1}{6 u} d u = \int 3 x^{4} d x$

Langkah 2.2.4

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{6}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int 3 x^{4} d x$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 3 x^{4} d x$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$\frac{1}{6} \ln (| u |) + C_{1} = \int 3 x^{4} d x$

Langkah 2.2.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y^{6} - 2$ .

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = \int 3 x^{4} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 \int x^{4} d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $3 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$ sebagai $3 (\frac{1}{5}) x^{5} + C_{2}$ .

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{5}) x^{5} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = \frac{3}{5} x^{5} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{3}{5} x^{5} + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $6$ .

$6 (\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |)) = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $6 (\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $\ln (| y^{6} - 2 |)$ .

$6 \frac{\ln (| y^{6} - 2 |)}{6} = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$6 \frac{\ln (| y^{6} - 2 |)}{6} = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{3}{5}$ dan $x^{5}$ .

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 (\frac{3 x^{5}}{5} + C)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 \frac{3 x^{5}}{5} + 6 C$

Langkah 3.2.2.1.3

Kalikan $6 \frac{3 x^{5}}{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Gabungkan $6$ dan $\frac{3 x^{5}}{5}$ .

$\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{6 (3 x^{5})}{5} + 6 C$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Kalikan $3$ dengan $6$ .

$\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{18 x^{5}}{5} + 6 C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y^{6} - 2 |)} = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{18 x^{5}}{5} + 6 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} = | y^{6} - 2 |$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y^{6} - 2 | = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$ .

$| y^{6} - 2 | = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

Langkah 3.5.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y^{6} - 2 = \pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

Langkah 3.5.3

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$y^{6} = \pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} + 2$

Langkah 3.5.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} + 2}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + C} + 2}$

Langkah 4.2

Tulis kembali $e^{\frac{18 x^{5}}{5} + C}$ sebagai $e^{\frac{18 x^{5}}{5}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5}} e^{C} + 2}$

Langkah 4.3

Susun kembali $e^{\frac{18 x^{5}}{5}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{C} e^{\frac{18 x^{5}}{5}} + 2}$

Langkah 4.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = \pm \sqrt[6]{C e^{\frac{18 x^{5}}{5}} + 2}$