Kalkulus Contoh

$(6 x^{2} - 7 y^{2}) d x - 14 x (y d) y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 6 x^{2} - 7 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x^{2} - 7 y^{2}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x^{2} - 7 y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [6 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 7 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 7 y^{2}]$

Langkah 1.2.2

Karena $6 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $6 x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 7 y^{2}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 7 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 7$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 7 y^{2}$ terhadap $y$ adalah $- 7 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 7 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 7 (2 y)$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 7$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 14 y$

Langkah 1.4

Kurangi $14 y$ dengan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 14 y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - 14 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 14 x y]$

Langkah 2.2

Karena $- 14 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 14 x y$ terhadap $x$ adalah $- 14 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 14 y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 14 y \cdot 1$

Langkah 2.4

Kalikan $- 14$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 14 y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 14 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 14 y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 14 y = - 14 y$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$- 14 y = - 14 y$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 14 x y d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = - 14 x y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 14 x$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 14 x$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - 14 x \int y d y$

Langkah 5.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - 14 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 5.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali $- 14 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $- 14 x \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - 14 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gabungkan $- 14$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x \frac{- 14}{2} y^{2} + C$

Langkah 5.3.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{- 14}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot - 14}{2} y^{2} + C$

Langkah 5.3.2.3

Pindahkan $- 14$ ke sebelah kiri $x$ .

$f (x, y) = \frac{- 14 x}{2} y^{2} + C$

Langkah 5.3.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 14$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 14 x$ .

$f (x, y) = \frac{2 (- 7 x)}{2} y^{2} + C$

Langkah 5.3.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (- 7 x)}{2 (1)} y^{2} + C$

Langkah 5.3.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{2 (- 7 x)}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Langkah 5.3.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = \frac{- 7 x}{1} y^{2} + C$

Langkah 5.3.2.4.2.4

Bagilah $- 7 x$ dengan $1$ .

$f (x, y) = - 7 x y^{2} + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = - 7 x y^{2} + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x^{2} - 7 y^{2}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 x y^{2} + g (x)] = 6 x^{2} - 7 y^{2}$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 7 x y^{2} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 7 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x^{2} - 7 y^{2}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 7 x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $- 7 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 7 x y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 7 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x^{2} - 7 y^{2}$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 7 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x^{2} - 7 y^{2}$

Langkah 8.3.3

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$- 7 y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x^{2} - 7 y^{2}$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$- 7 y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x^{2} - 7 y^{2}$

Langkah 8.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - 7 y^{2} = 6 x^{2} - 7 y^{2}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tambahkan $7 y^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} - 7 y^{2} + 7 y^{2}$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $6 x^{2} - 7 y^{2} + 7 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Tambahkan $- 7 y^{2}$ dan $7 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $6 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$

Langkah 10

Temukan $6 x^{2}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x^{2} d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x^{2} d x$

Langkah 10.3

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$g (x) = 6 \int x^{2} d x$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Langkah 10.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Tulis kembali $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ sebagai $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Langkah 10.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{6}{3} x^{3} + C$

Langkah 10.5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C$

Langkah 10.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$g (x) = \frac{2}{1} x^{3} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$g (x) = 2 x^{3} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = - 7 x y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - 7 x y^{2} + 2 x^{3} + C$