Kalkulus Contoh

$(3 y^{2} + 2 x y + 2 x) d x + (6 x y + x^{2} + 3) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 3 y^{2} + 2 x y + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y^{2} + 2 x y + 2 x]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 y^{2} + 2 x y + 2 x$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 y^{2}$ terhadap $y$ adalah $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (2 y) + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x]$

Langkah 1.4.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x + \frac{d}{d y} [2 x]$

Langkah 1.5

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x + 0$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Tambahkan $6 y + 2 x$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x$

Langkah 1.6.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 6 y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 6 x y + x^{2} + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x y + x^{2} + 3]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x y + x^{2} + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $6 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x y$ terhadap $x$ adalah $6 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + 2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.4.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + 2 x + 0$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tambahkan $6 y + 2 x$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + 2 x$

Langkah 2.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 6 y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 x + 6 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 x + 6 y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x + 6 y = 2 x + 6 y$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$2 x + 6 y = 2 x + 6 y$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} + 2 x y + 2 x d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = 3 y^{2} + 2 x y + 2 x$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 3 y^{2} d x + \int 2 x y d x + \int 2 x d x$

Langkah 5.2

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + \int 2 x y d x + \int 2 x d x$

Langkah 5.3

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2 y$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y \int x d x + \int 2 x d x$

Langkah 5.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 x d x$

Langkah 5.5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 \int x d x$

Langkah 5.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 5.7

Sederhanakan.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Langkah 5.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + C$

Langkah 5.8.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + \frac{2 x^{2}}{2} + C$

Langkah 5.8.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + \frac{2 x^{2}}{2} + C$

Langkah 5.8.3.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x y + x^{2} + 3$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [3 y^{2} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $3 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 y^{2} x$ terhadap $y$ adalah $3 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 x (2 y) + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Langkah 8.3.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 x y + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Langkah 8.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y x^{2}$ terhadap $y$ adalah $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 x y + x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Langkah 8.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 x y + x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Langkah 8.4.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$6 x y + x^{2} + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Langkah 8.5

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$6 x y + x^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Langkah 8.6

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$6 x y + x^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = 6 x y + x^{2} + 3$

Langkah 8.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.7.1

Tambahkan $6 x y + x^{2}$ dan $0$ .

$6 x y + x^{2} + \frac{d g}{d y} = 6 x y + x^{2} + 3$

Langkah 8.7.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} + 6 x y = 6 x y + x^{2} + 3$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} + 6 x y = 6 x y + x^{2} + 3 - x^{2}$

Langkah 9.1.2

Kurangkan $6 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = 6 x y + x^{2} + 3 - x^{2} - 6 x y$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $6 x y + x^{2} + 3 - x^{2} - 6 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 x y + 0 + 3 - 6 x y$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $6 x y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 x y + 3 - 6 x y$

Langkah 9.1.3.3

Kurangi $6 x y$ dengan $6 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + 3$

Langkah 9.1.3.4

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$\frac{d g}{d y} = 3$

Langkah 10

Temukan $3$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 3$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 d y$

Langkah 10.3

Terapkan aturan konstanta.

$g (y) = 3 y + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + 3 y + C$