Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + 8 y = 2 x^{3} y^{\frac{3}{4}}$

Langkah 1

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, biarkan $v = y^{1 - n}$ di mana $n$ adalah eksponen dari $y^{\frac{3}{4}}$ .

$v = y^{\frac{1}{4}}$

Langkah 2

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

$y = v^{4}$

Langkah 3

Ambil turunan dari $y$ terhadap $x$ .

$y' = v^{4}$

Langkah 4

Ambil turunan dari $v^{4}$ terhadap $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ambil turunan dari $v^{4}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{4}]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $v$ .

$y' = \frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [v]$

Langkah 4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$y' = 4 u^{3} \frac{d}{d x} [v]$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $v$ .

$y' = 4 v^{3} \frac{d}{d x} [v]$

Langkah 4.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [v]$ sebagai $v'$ .

$y' = 4 v^{3} v'$

Langkah 5

Substitusikan $4 v^{3} v'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ dan $v^{4}$ dengan $y$ dalam persamaan asli $\frac{d y}{d x} + 8 y = 2 x^{3} y^{\frac{3}{4}}$ .

$4 v^{3} v' + 8 v^{4} = 2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Bagi setiap suku pada $4 v^{3} \frac{d v}{d x} + 8 v^{4} = 2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ dengan $4 v^{3}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Bagilah setiap suku di $4 v^{3} \frac{d v}{d x} + 8 v^{4} = 2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ dengan $4 v^{3}$ .

$\frac{4 v^{3} \frac{d v}{d x}}{4 v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Langkah 6.1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 v^{3} \frac{d v}{d x}}{4 v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Langkah 6.1.1.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{v^{3} \frac{d v}{d x}}{v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Langkah 6.1.1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $v^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{v^{3} \frac{d v}{d x}}{v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Langkah 6.1.1.2.1.2.2

Bagilah $\frac{d v}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Langkah 6.1.1.2.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1.3.1

Faktorkan $4$ dari $8 v^{4}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 (2 v^{4})}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Langkah 6.1.1.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $4 v^{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 (2 v^{4})}{4 (v^{3})} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Langkah 6.1.1.2.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 (2 v^{4})}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Langkah 6.1.1.2.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v^{4}}{v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Langkah 6.1.1.2.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $v^{4}$ dan $v^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1.4.1

Faktorkan $v^{3}$ dari $2 v^{4}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v^{3} (2 v)}{v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Langkah 6.1.1.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1.4.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v^{3} (2 v)}{v^{3} \cdot 1} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Langkah 6.1.1.2.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v^{3} (2 v)}{v^{3} \cdot 1} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Langkah 6.1.1.2.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{1} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Langkah 6.1.1.2.1.4.2.4

Bagilah $2 v$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Langkah 6.1.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 (x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}})}{4 v^{3}}$

Langkah 6.1.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4 v^{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 (x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}})}{2 (2 v^{3})}$

Langkah 6.1.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 (x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}})}{2 (2 v^{3})}$

Langkah 6.1.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{2 v^{3}}$

Langkah 6.1.1.3.3

Kalikan eksponen dalam ${(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{4 (\frac{3}{4})}}{2 v^{3}}$

Langkah 6.1.1.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{4 (\frac{3}{4})}}{2 v^{3}}$

Langkah 6.1.1.3.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{3}}{2 v^{3}}$

Langkah 6.1.1.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $v^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{3}}{2 v^{3}}$

Langkah 6.1.1.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3}}{2}$

Langkah 6.1.2

Tulis kembali persamaan dengan koefisien terisolasi.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{1}{2} x^{3}$

Langkah 6.2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Buat integralnya.

$e^{\int 2 d x}$

Langkah 6.2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{2 x + C}$

Langkah 6.2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{2 x}$

Langkah 6.3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + e^{2 x} (2 v) = e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{3})$

Langkah 6.3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{3})$

Langkah 6.3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{1}{2} e^{2 x} x^{3}$

Langkah 6.3.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{e^{2 x}}{2} x^{3}$

Langkah 6.3.5

Gabungkan $\frac{e^{2 x}}{2}$ dan $x^{3}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} x^{3}}{2}$

Langkah 6.3.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} x^{3}}{2}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 v e^{2 x} = \frac{x^{3} e^{2 x}}{2}$

Langkah 6.4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} v] = \frac{x^{3} e^{2 x}}{2}$

Langkah 6.5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} v] d x = \int \frac{x^{3} e^{2 x}}{2} d x$

Langkah 6.6

Integralkan sisi kiri.

$e^{2 x} v = \int \frac{x^{3} e^{2 x}}{2} d x$

Langkah 6.7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} \int x^{3} e^{2 x} d x$

Langkah 6.7.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{3}$ dan $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (x^{3} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x)$

Langkah 6.7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (x^{3} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x)$

Langkah 6.7.3.2

Gabungkan $x^{3}$ dan $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x)$

Langkah 6.7.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (3 x^{2}) d x)$

Langkah 6.7.3.4

Gabungkan $3$ dan $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{3 e^{2 x}}{2} x^{2} d x)$

Langkah 6.7.3.5

Gabungkan $\frac{3 e^{2 x}}{2}$ dan $x^{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{3 e^{2 x} x^{2}}{2} d x)$

Langkah 6.7.4

Karena $\frac{3}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{3}{2}$ keluar dari integral.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - (\frac{3}{2} \int e^{2 x} x^{2} d x))$

Langkah 6.7.5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x))$

Langkah 6.7.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.6.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x))$

Langkah 6.7.6.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x))$

Langkah 6.7.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x))$

Langkah 6.7.6.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x))$

Langkah 6.7.6.5

Gabungkan $\frac{2 e^{2 x}}{2}$ dan $x$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x))$

Langkah 6.7.6.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.6.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x))$

Langkah 6.7.6.6.2

Bagilah $e^{2 x} x$ dengan $1$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x))$

Langkah 6.7.7

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)))$

Langkah 6.7.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.8.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)))$

Langkah 6.7.8.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)))$

Langkah 6.7.8.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)))$

Langkah 6.7.9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))))$

Langkah 6.7.10

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.10.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.10.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 6.7.10.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.7.10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 6.7.10.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 6.7.10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)))$

Langkah 6.7.11

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)))$

Langkah 6.7.12

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))))$

Langkah 6.7.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.13.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)))$

Langkah 6.7.13.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

Langkah 6.7.14

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))))$

Langkah 6.7.15

Tulis kembali $\frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))))$ sebagai $\frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) + C$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) + C$

Langkah 6.7.16

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Langkah 6.7.17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.17.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Langkah 6.7.17.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.17.2.1

Gabungkan.

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Langkah 6.7.17.2.2

Kalikan $\frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.17.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Langkah 6.7.17.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Langkah 6.7.17.2.3

Gabungkan.

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Langkah 6.7.17.2.4

Kalikan $\frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.17.2.4.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{3 e^{2 x}}{8}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{2 \cdot 8} + C$

Langkah 6.7.17.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Langkah 6.7.17.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.17.3.1

Kalikan $x^{3}$ dengan $1$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Langkah 6.7.17.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Langkah 6.7.17.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Langkah 6.7.17.3.4

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Langkah 6.7.18

Susun kembali suku-suku.

$e^{2 x} v = \frac{1}{4} x^{3} e^{2 x} - \frac{3}{8} x^{2} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Langkah 6.8

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{3}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3}}{4} e^{2 x} - \frac{3}{8} x^{2} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Langkah 6.8.1.2

Gabungkan $\frac{x^{3}}{4}$ dan $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3}{8} x^{2} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Langkah 6.8.1.3

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{3}{8}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{x^{2} \cdot 3}{8} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Langkah 6.8.1.4

Gabungkan $e^{2 x}$ dan $\frac{x^{2} \cdot 3}{8}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Langkah 6.8.1.5

Gabungkan $\frac{3}{8}$ dan $x$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x}{8} e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Langkah 6.8.1.6

Gabungkan $\frac{3 x}{8}$ dan $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Langkah 6.8.1.7

Gabungkan $e^{2 x}$ dan $\frac{3}{16}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} + C$

Langkah 6.8.2

Bagi setiap suku pada $e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} + C$ dengan $e^{2 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.1

Bagilah setiap suku di $e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} + C$ dengan $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{\frac{x^{3} e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 6.8.2.2.1.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{\frac{x^{3} e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.3.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.1.2

Gabungkan.

$v = \frac{x^{3} e^{2 x} \cdot 1}{4 e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 6.8.2.3.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$v = \frac{x^{3} \cdot 1}{4} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.1.4

Kalikan $x^{3}$ dengan $1$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.1.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.1.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{2 x} x^{2}$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 \cdot (e^{2 x} x^{2})}{8} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.1.7

Kalikan $\frac{1}{e^{2 x}}$ dengan $\frac{3 e^{2 x} x^{2}}{8}$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 e^{2 x} x^{2}}{e^{2 x} \cdot 8} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.1.8

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.3.1.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 e^{2 x} x^{2}}{e^{2 x} \cdot 8} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.1.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.1.9

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.1.10

Gabungkan.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x e^{2 x} \cdot 1}{8 e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.1.11

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.3.1.11.1

Batalkan faktor persekutuan.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x e^{2 x} \cdot 1}{8 e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.1.11.2

Tulis kembali pernyataannya.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x \cdot 1}{8} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.1.12

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.1.13

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.1.14

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3 \cdot e^{2 x}}{16} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.1.15

Kalikan $\frac{1}{e^{2 x}}$ dengan $\frac{3 e^{2 x}}{16}$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3 e^{2 x}}{e^{2 x} \cdot 16} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.1.16

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.3.1.16.1

Batalkan faktor persekutuan.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3 e^{2 x}}{e^{2 x} \cdot 16} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.1.16.2

Tulis kembali pernyataannya.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3}{16} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7

Substitusikan $y^{\frac{1}{4}}$ untuk $v$ .

$y^{\frac{1}{4}} = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3}{16} + \frac{C}{e^{2 x}}$