Kalkulus Contoh

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} - 2 x$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = (x^{2} - 2 x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int x^{2} - 2 x d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} - 2 x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 2 x d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 2 x d x$

Langkah 2.3.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 \int x d x$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.5.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (- x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (- x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (- x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 (- x^{2}) + 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y^{2} = - 2 x^{2} + 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = - 2 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- 2 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 2 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$

Langkah 3.4.1.2

Faktorkan $2$ dari $\frac{2 x^{3}}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Langkah 3.4.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Langkah 3.4.1.4

Faktorkan $2$ dari $2 (- x^{2}) + 2 \frac{x^{3}}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2} + \frac{x^{3}}{3}) + 2 K}$

Langkah 3.4.1.5

Faktorkan $2$ dari $2 (- x^{2} + \frac{x^{3}}{3}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + K)}$

Langkah 3.4.2

Untuk menuliskan $- x^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{3}}{3} + K)}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Gabungkan $- x^{2}$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{- x^{2} \cdot 3}{3} + \frac{x^{3}}{3} + K)}$

Langkah 3.4.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{- x^{2} \cdot 3 + x^{3}}{3} + K)}$

Langkah 3.4.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $- x^{2} \cdot 3 + x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $- x^{2} \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{2} (- 1 \cdot 3) + x^{3}}{3} + K)}$

Langkah 3.4.4.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{2} (- 1 \cdot 3) + x^{2} x}{3} + K)}$

Langkah 3.4.4.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (- 1 \cdot 3) + x^{2} x$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{2} (- 1 \cdot 3 + x)}{3} + K)}$

Langkah 3.4.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{2} (- 3 + x)}{3} + K)}$

Langkah 3.4.5

Untuk menuliskan $K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{2} (- 3 + x)}{3} + K \cdot \frac{3}{3})}$

Langkah 3.4.6

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1

Gabungkan $K$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{2} (- 3 + x)}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})}$

Langkah 3.4.6.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{2} (- 3 + x) + K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} x + K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.7.2

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 3 \cdot x^{2} + x^{2} x + K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.7.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.3.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.3.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 3 \cdot x^{2} + x^{2} x^{1} + K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.7.3.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 3 \cdot x^{2} + x^{2 + 1} + K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.7.3.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 3 \cdot x^{2} + x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.7.4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K}{3}}$

Langkah 3.4.8

Gabungkan $2$ dan $\frac{- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}{3}}$

Langkah 3.4.9

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

Langkah 3.4.10

Kalikan $\frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 3.4.11

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.11.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 3.4.11.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Langkah 3.4.11.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Langkah 3.4.11.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.4.11.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 3.4.11.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.11.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.4.11.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.4.11.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.11.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.11.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.11.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Langkah 3.4.11.6.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3}$

Langkah 3.4.12

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.12.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Langkah 3.4.12.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + K)}}{3}$