Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 1}{y^{2} + 1}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y^{2} + 1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x^{2} - 1}{y^{2} + 1}$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x^{2} - 1^{2}}{y^{2} + 1}$

Langkah 1.2.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{y^{2} + 1}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{y^{2} + 1}$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1)$

Langkah 1.2.3

Perluas $(x + 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Terapkan sifat distributif.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x (x - 1) + 1 (x - 1)$

Langkah 1.2.3.2

Terapkan sifat distributif.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)$

Langkah 1.2.3.3

Terapkan sifat distributif.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Langkah 1.2.4.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Langkah 1.2.4.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Langkah 1.2.4.1.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1$

Langkah 1.2.4.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x - 1$

Langkah 1.2.4.2

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 0 - 1$

Langkah 1.2.4.3

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$(y^{2} + 1) d y = (x^{2} - 1) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y^{2} + 1 d y = \int x^{2} - 1 d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int y^{2} d y + \int d y = \int x^{2} - 1 d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int d y = \int x^{2} - 1 d x$

Langkah 2.2.3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + y + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$