Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + x e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Langkah 1.2

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = - \int x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ . Kemudian $d u_{2} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$ sehingga $\frac{1}{- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$

Langkah 2.3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Langkah 2.3.2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Langkah 2.3.2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Langkah 2.3.2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.1

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{x^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.3.2.1.3.2

Gabungkan $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.2.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Langkah 2.3.2.1.3.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Langkah 2.3.2.1.3.4.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Langkah 2.3.2.1.3.4.3

Gabungkan $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ dan $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Langkah 2.3.2.1.3.4.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.4.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

Langkah 2.3.2.1.3.4.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.4.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

Langkah 2.3.2.1.3.4.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.2.1.3.4.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

Langkah 2.3.2.1.3.4.4.2.4

Bagilah $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ dengan $1$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

Langkah 2.3.2.1.3.4.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - \int - 1 d u_{2}$

Langkah 2.3.3

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = - (- u_{2} + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Sederhanakan.

$y + C_{1} = - - u_{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 u_{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.2

Kalikan $u_{2}$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$y + C_{1} = e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.4

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{1} = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + K$