Kalkulus Contoh

$(x - y^{2}) d x + 2 x (y d) y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x - y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - y^{2}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Langkah 1.2.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y^{2}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

Langkah 1.4

Kurangi $2 y$ dengan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y]$

Langkah 2.2

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $x$ adalah $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

Langkah 2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 2 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = 2 y$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$- 2 y = 2 y$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 2 y$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $2 y$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y - (2 y)}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $2 x y$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $2 x y$ untuk $N$ .

$\frac{- 2 y - (2 y)}{2 x y}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $- 2 y - 1 \cdot 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Faktorkan $y$ dari $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 y}{2 x y}$

Langkah 4.3.2.1.2

Faktorkan $y$ dari $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Langkah 4.3.2.1.3

Faktorkan $y$ dari $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (- 2 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{y (- 2 - 2)}{2 x y}$

Langkah 4.3.2.3

Kurangi $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{y \cdot - 4}{2 x y}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \cdot - 4}{2 x y}$

Langkah 4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 4}{2 x}$

Langkah 4.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x}$

Langkah 4.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x)}$

Langkah 4.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x}$

Langkah 4.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2}{x}$

Langkah 4.3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{x}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Langkah 5.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 5.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 5.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $- 2$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Langkah 5.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Langkah 5.6.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{- 2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Langkah 5.6.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(x - y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $x - y^{2}$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x - y^{2}) \frac{1}{x^{2}} d x + 2 x y d y = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $x - y^{2}$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x - y^{2}}{x^{2}} d x + 2 x y d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $2 x y$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x - y^{2}}{x^{2}} d x + 2 x y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan $x$ dari $2 x y$ .

$\frac{x - y^{2}}{x^{2}} d x + x (2 y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 6.4.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{x - y^{2}}{x^{2}} d x + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Langkah 6.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x - y^{2}}{x^{2}} d x + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Langkah 6.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x - y^{2}}{x^{2}} d x + 2 y \frac{1}{x} d y = 0$

Langkah 6.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x - y^{2}}{x^{2}} d x + y \frac{2}{x} d y = 0$

Langkah 6.6

Gabungkan $y$ dan $\frac{2}{x}$ .

$\frac{x - y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{y \cdot 2}{x} d y = 0$

Langkah 6.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{x - y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{2 y}{x} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 y}{x} d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = \frac{2 y}{x}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $\frac{2}{x}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $\frac{2}{x}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = \frac{2}{x} \int y d y$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 8.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Tulis kembali $\frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Kalikan $\frac{2}{x}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x \cdot 2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 \cdot x} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.3

Kalikan $2$ dengan $x$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = \frac{1}{x} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.5

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x - y^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x} + g (x)] = \frac{x - y^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{y^{2}}{x} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - y^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{y^{2}}{x}$ terhadap $x$ adalah $y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - y^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - y^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - y^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x - y^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y^{2} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x - y^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.2

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x - y^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{x - y^{2}}{x^{2}}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1

Kurangkan $\frac{x - y^{2}}{x^{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{2}} - \frac{x - y^{2}}{x^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - (x - y^{2})}{x^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x - - y^{2}}{x^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.2

Kalikan $- - y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.3.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x + 1 y^{2}}{x^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.2.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x + y^{2}}{x^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.4

Gabungkan suku balikan dalam $- y^{2} - x + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.4.1

Tambahkan $- y^{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.4.2

Tambahkan $- x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.1

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.1.1

Faktorkan $x$ dari $- x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

Langkah 12.1.1.5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

Langkah 12.1.1.5.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x} = 0$

Langkah 12.1.1.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x} = 0$

Langkah 12.1.2

Tambahkan $\frac{1}{x}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 13

Temukan $\frac{1}{x}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 13.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \ln (| x |) + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + \ln (| x |) + C$