Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = {(3 x + 2)}^{3}$ , $y (0) = 1$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = {(3 x + 2)}^{3} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = 3 x + 2$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = 3 x + 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.3.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.3.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.3.1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.3.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 + 0$

Langkah 2.3.1.1.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$3$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{3} \frac{1}{3} d u$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $u^{3}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{3}}{3} d u$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{3} d u$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{3}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Tulis kembali $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ sebagai $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.5.2.2

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} u^{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x + 2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $1$ untuk $y$ padda $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ .

$1 = \frac{1}{12} {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$

Langkah 4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(0 + 2)}^{4} + K = 1$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 2^{4} + K = 1$

Langkah 4.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$\frac{1}{12} \cdot 16 + K = 1$

Langkah 4.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$\frac{1}{4 (3)} \cdot 16 + K = 1$

Langkah 4.2.4.2

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

Langkah 4.2.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

Langkah 4.2.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} \cdot 4 + K = 1$

Langkah 4.2.5

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $4$ .

$\frac{4}{3} + K = 1$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $\frac{4}{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 1 - \frac{4}{3}$

Langkah 4.3.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$K = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Langkah 4.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$K = \frac{3 - 4}{3}$

Langkah 4.3.4

Kurangi $4$ dengan $3$ .

$K = \frac{- 1}{3}$

Langkah 4.3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$K = - \frac{1}{3}$

Langkah 5

Substitusikan $- \frac{1}{3}$ untuk $K$ dalam $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- \frac{1}{3}$ untuk $K$ .

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gunakan Teorema Binomial.

$y = \frac{1}{12} ({(3 x)}^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 x$ .

$y = \frac{1}{12} (3^{4} x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.2.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.2.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 x$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.2.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.2.5

Kalikan $27$ dengan $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 108 x^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.2.6

Kalikan $2$ dengan $108$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.2.7

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 x$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (3^{2} x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.2.8

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (9 x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.2.9

Kalikan $9$ dengan $6$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.2.10

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 4 + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.2.11

Kalikan $4$ dengan $54$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.2.12

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.2.13

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 8 + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.2.14

Kalikan $8$ dengan $12$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.2.15

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 16) - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1.1

Faktorkan $3$ dari $12$ .

$y = \frac{1}{3 (4)} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.4.1.2

Faktorkan $3$ dari $81 x^{4}$ .

$y = \frac{1}{3 (4)} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.4.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{1}{3 \cdot 4} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.4.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{1}{4} (27 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.4.2

Gabungkan $27$ dan $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{27}{4} x^{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.4.3

Gabungkan $\frac{27}{4}$ dan $x^{4}$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.4.1

Faktorkan $12$ dari $216 x^{3}$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.4.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.4.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.4.5

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.5.1

Faktorkan $12$ dari $216 x^{2}$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.4.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.4.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.4.6

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.6.1

Faktorkan $12$ dari $96 x$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.4.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.4.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.4.7

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.7.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 (3)} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.4.7.2

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.4.7.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.4.7.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.4.8

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $4$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

Langkah 5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{4 - 1}{3}$

Langkah 5.4

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{3}{3}$

Langkah 5.5

Bagilah $3$ dengan $3$ .

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + 1$