Kalkulus Contoh

$t \frac{d y}{d t} + 2 y = 3$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kurangkan $2 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$t \frac{d y}{d t} = 3 - 2 y$

Langkah 1.1.2

Bagi setiap suku pada $t \frac{d y}{d t} = 3 - 2 y$ dengan $t$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $t \frac{d y}{d t} = 3 - 2 y$ dengan $t$ .

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{3}{t} + \frac{- 2 y}{t}$

Langkah 1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{3}{t} + \frac{- 2 y}{t}$

Langkah 1.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d t}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{3}{t} + \frac{- 2 y}{t}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d t} = \frac{3}{t} - \frac{2 y}{t}$

Langkah 1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 - 2 y}{t}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{3 - 2 y}$ .

$\frac{1}{3 - 2 y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{3 - 2 y} \cdot \frac{3 - 2 y}{t}$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3 - 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3 - 2 y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{3 - 2 y} \cdot \frac{3 - 2 y}{t}$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3 - 2 y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{t}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{3 - 2 y} d y = \frac{1}{t} d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{3 - 2 y} d y = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = 3 - 2 y$ . Kemudian $d u = - 2 d y$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = 3 - 2 y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $3 - 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 - 2 y]$

Langkah 2.2.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 - 2 y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Langkah 2.2.1.1.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Langkah 2.2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 y$ terhadap $y$ adalah $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Langkah 2.2.1.1.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$0 - 2$

Langkah 2.2.1.1.4

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$- 2$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2.2.2

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2.2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 - 2 y$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.3

Integral dari $\frac{1}{t}$ terhadap $t$ adalah $\ln (| t |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |) + C_{1} = \ln (| t |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |) = \ln (| t |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |)) = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\ln (| 3 - 2 y |)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 3 - 2 y |)}{2}) = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\ln (| 3 - 2 y |)}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 2 \frac{- \ln (| 3 - 2 y |)}{2} = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 3 - 2 y |)}{2} = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 3 - 2 y |)}{2} = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- - \ln (| 3 - 2 y |) = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \ln (| 3 - 2 y |) = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.3.2

Kalikan $\ln (| 3 - 2 y |)$ dengan $1$ .

$\ln (| 3 - 2 y |) = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 3 - 2 y |) = - 2 \ln (| t |) - 2 C$

Langkah 3.3

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 3 - 2 y |) + 2 \ln (| t |) = - 2 C$

Langkah 3.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan $\ln (| 3 - 2 y |) + 2 \ln (| t |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| t |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln (| 3 - 2 y |) + \ln ({| t |}^{2}) = - 2 C$

Langkah 3.4.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| t |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (| 3 - 2 y |) + \ln (t^{2}) = - 2 C$

Langkah 3.4.1.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 3 - 2 y | t^{2}) = - 2 C$

Langkah 3.4.1.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (| 3 - 2 y | t^{2})$ .

$\ln (t^{2} | 3 - 2 y |) = - 2 C$

Langkah 3.5

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (t^{2} | 3 - 2 y |)} = e^{- 2 C}$

Langkah 3.6

Tulis kembali $\ln (t^{2} | 3 - 2 y |) = - 2 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = t^{2} | 3 - 2 y |$

Langkah 3.7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $t^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$ .

$t^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$

Langkah 3.7.2

Bagi setiap suku pada $t^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$ dengan $t^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1

Bagilah setiap suku di $t^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$ dengan $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} | 3 - 2 y |}{t^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}$

Langkah 3.7.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{t^{2} | 3 - 2 y |}{t^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}$

Langkah 3.7.2.2.1.2

Bagilah $| 3 - 2 y |$ dengan $1$ .

$| 3 - 2 y | = \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}$

Langkah 3.7.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$3 - 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}$

Langkah 3.7.4

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}} - 3$

Langkah 3.7.5

Bagi setiap suku pada $- 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}} - 3$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.5.1

Bagilah setiap suku di $- 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}} - 3$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Langkah 3.7.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Langkah 3.7.5.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Langkah 3.7.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.5.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.5.3.1.1

Sederhanakan $\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{- 2}$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

Langkah 3.7.5.3.1.2

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\pm \frac{C}{t^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Langkah 4.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = \frac{C \frac{1}{t^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$