Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} = 0.04 y + 8000$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{0.04 y + 8000}$ .

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{0.04 y + 8000} (0.04 y + 8000)$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $0.04 y + 8000$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{0.04 y + 8000} (0.04 y + 8000)$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = 1$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} d y = 1 d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{0.04 y + 8000} d y = \int d t$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = 0.04 y + 8000$ . Kemudian $d u = 0.04 d y$ sehingga $\frac{1}{0.04} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = 0.04 y + 8000$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Tulis kembali.

$\frac{0.04}{1}$

Langkah 2.2.1.1.2

Bagilah $0.04$ dengan $1$ .

$0.04$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{25}{u} d u = \int d t$

Langkah 2.2.2

Karena $25$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $25$ keluar dari integral.

$25 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Langkah 2.2.3

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$25 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

$25 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Langkah 2.2.5

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $0.04 y + 8000$ .

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) + C_{1} = \int d t$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) + C_{1} = t + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$ dengan $25$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$ dengan $25$ .

$\frac{25 \ln (| 0.04 y + 8000 |)}{25} = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{25 \ln (| 0.04 y + 8000 |)}{25} = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

Langkah 3.1.2.1.2

Bagilah $\ln (| 0.04 y + 8000 |)$ dengan $1$ .

$\ln (| 0.04 y + 8000 |) = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

Langkah 3.2

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 0.04 y + 8000 |)} = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\ln (| 0.04 y + 8000 |) = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} = | 0.04 y + 8000 |$

Langkah 3.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 0.04 y + 8000 | = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$ .

$| 0.04 y + 8000 | = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

Langkah 3.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$0.04 y + 8000 = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

Langkah 3.4.3

Kurangkan $8000$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$

Langkah 3.4.4

Bagi setiap suku pada $0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$ dengan $0.04$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Bagilah setiap suku di $0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$ dengan $0.04$ .

$\frac{0.04 y}{0.04} = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Langkah 3.4.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $0.04$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{0.04 y}{0.04} = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Langkah 3.4.4.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Langkah 3.4.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Langkah 3.4.4.3.1.2

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{25}})}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Langkah 3.4.4.3.1.3

Faktorkan $0.04$ dari $0.04$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{25}})}{0.04 (1)} + \frac{- 8000}{0.04}$

Langkah 3.4.4.3.1.4

Pisahkan pecahan.

$y = \frac{1}{0.04} \cdot \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{1} + \frac{- 8000}{0.04}$

Langkah 3.4.4.3.1.5

Bagilah $1$ dengan $0.04$ .

$y = 25 \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{1} + \frac{- 8000}{0.04}$

Langkah 3.4.4.3.1.6

Bagilah $\pm e^{\frac{t + C}{25}}$ dengan $1$ .

$y = 25 (\pm e^{\frac{t + C}{25}}) + \frac{- 8000}{0.04}$

Langkah 3.4.4.3.1.7

Bagilah $- 8000$ dengan $0.04$ .

$y = 25 (\pm e^{\frac{t + C}{25}}) - 200000$