Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

Langkah 1

Bagi setiap suku pada $x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Langkah 1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Langkah 1.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Langkah 1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Langkah 1.3.1.1.2

Bagilah $\sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

Langkah 1.3.1.2

Tulis kembali $\tan (\frac{y}{x})$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Langkah 1.3.1.3

Kalikan $\sin (\frac{y}{x}) \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.3.1

Gabungkan $\sin (\frac{y}{x})$ dan $\frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Langkah 1.3.1.3.2

Naikkan $\sin (\frac{y}{x})$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{1} (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Langkah 1.3.1.3.3

Naikkan $\sin (\frac{y}{x})$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{1} (\frac{y}{x}) \sin^{1} (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Langkah 1.3.1.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{{\sin (\frac{y}{x})}^{1 + 1}}{\cos (\frac{y}{x})}$

Langkah 1.3.1.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{2} (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Langkah 1.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Faktorkan $\sin (\frac{y}{x})$ dari $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Langkah 1.3.2.2

Pisahkan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x})}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Langkah 1.3.2.3

Konversikan dari $\frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ ke $\tan (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x})}{1} \tan (\frac{y}{x})$

Langkah 1.3.2.4

Bagilah $\sin (\frac{y}{x})$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

Langkah 2

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sin (V) \tan (V)$

Langkah 3

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 4

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 5

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \tan (V)$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1

Sederhanakan $V + \sin (V) \tan (V)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1.1.1

Tulis kembali $\tan (V)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Langkah 6.1.1.1.1.1.2

Kalikan $\sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1.1.2.1

Gabungkan $\sin (V)$ dan $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Langkah 6.1.1.1.1.1.2.2

Naikkan $\sin (V)$ menjadi pangkat $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{1} (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Langkah 6.1.1.1.1.1.2.3

Naikkan $\sin (V)$ menjadi pangkat $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{1} (V) \sin^{1} (V)}{\cos (V)}$

Langkah 6.1.1.1.1.1.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{{\sin (V)}^{1 + 1}}{\cos (V)}$

Langkah 6.1.1.1.1.1.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{2} (V)}{\cos (V)}$

Langkah 6.1.1.1.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1.2.1

Faktorkan $\sin (V)$ dari $\sin^{2} (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Langkah 6.1.1.1.1.2.2

Pisahkan pecahan.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V)}{1} \cdot \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Langkah 6.1.1.1.1.2.3

Konversikan dari $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ ke $\tan (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V)}{1} \tan (V)$

Langkah 6.1.1.1.1.2.4

Bagilah $\sin (V)$ dengan $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \tan (V)$

Langkah 6.1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d V}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sin (V) \tan (V) - V$

Langkah 6.1.1.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $V + \sin (V) \tan (V) - V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1

Kurangi $V$ dengan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V) + 0$

Langkah 6.1.1.2.2.2

Tambahkan $\sin (V) \tan (V)$ dan $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$

Langkah 6.1.1.2.3

Tulis kembali $\tan (V)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Langkah 6.1.1.2.4

Kalikan $\sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.4.1

Gabungkan $\sin (V)$ dan $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Langkah 6.1.1.2.4.2

Naikkan $\sin (V)$ menjadi pangkat $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{1} (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Langkah 6.1.1.2.4.3

Naikkan $\sin (V)$ menjadi pangkat $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{1} (V) \sin^{1} (V)}{\cos (V)}$

Langkah 6.1.1.2.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{{\sin (V)}^{1 + 1}}{\cos (V)}$

Langkah 6.1.1.2.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{2} (V)}{\cos (V)}$

Langkah 6.1.1.2.5

Faktorkan $\sin (V)$ dari $\sin^{2} (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Langkah 6.1.1.2.6

Pisahkan pecahan.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V)}{1} \cdot \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Langkah 6.1.1.2.7

Konversikan dari $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ ke $\tan (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V)}{1} \tan (V)$

Langkah 6.1.1.2.8

Bagilah $\sin (V)$ dengan $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$

Langkah 6.1.1.3

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Langkah 6.1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{\sin (V) \tan (V)}$ .

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \cdot \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Langkah 6.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (V) \tan (V)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \cdot \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Langkah 6.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Pisahkan pecahan.

$\int \frac{1}{\tan (V)} \cdot \frac{1}{\sin (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.2

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (V)}$ ke $\csc (V)$ .

$\int \frac{1}{\tan (V)} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.3

Tulis kembali $\tan (V)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \frac{1}{\frac{\sin (V)}{\cos (V)}} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.4

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$\int \frac{\cos (V)}{\sin (V)} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.5

Konversikan dari $\frac{\cos (V)}{\sin (V)}$ ke $\cot (V)$ .

$\int \cot (V) \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.2

Karena turunan dari $- \csc (V)$ adalah $\cot (V) \csc (V)$ , maka integral dari $\cot (V) \csc (V)$ adalah $- \csc (V)$ .

$- \csc (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- \csc (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \csc (V) = \ln (| x |) + C$

Langkah 6.3

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Bagi setiap suku pada $- \csc (V) = \ln (| x |) + C$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Bagilah setiap suku di $- \csc (V) = \ln (| x |) + C$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \csc (V)}{- 1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 6.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\csc (V)}{1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 6.3.1.2.2

Bagilah $\csc (V)$ dengan $1$ .

$\csc (V) = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 6.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\csc (V) = - 1 \cdot \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Langkah 6.3.1.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot \ln (| x |)$ sebagai $- \ln (| x |)$ .

$\csc (V) = - \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Langkah 6.3.1.3.1.3

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C}{- 1}$ .

$\csc (V) = - \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Langkah 6.3.1.3.1.4

Tulis kembali $- 1 \cdot C$ sebagai $- C$ .

$\csc (V) = - \ln (| x |) - C$

Langkah 6.3.2

Ambil kosekan balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $V$ dari dalam kosekan.

$V = arccsc (- \ln (| x |) - C)$

Langkah 6.4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$V = arccsc (- \ln (| x |) + C)$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$\frac{y}{x} = arccsc (- \ln (| x |) + C)$

Langkah 8

Selesaikan $\frac{y}{x} = arccsc (- \ln (| x |) + C)$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

Langkah 8.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $arccsc (- \ln (| x |) + C) x$ .

$y = x arccsc (- \ln (| x |) + C)$