Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y}{t} + 2$

Langkah 1

Biarkan $V = \frac{y}{t}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - V + 2$

Langkah 2

Selesaikan $V = \frac{y}{t}$ untuk $y$ .

$y = V t$

Langkah 3

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V t$ terhadap $t$ .

$\frac{d y}{d t} = t \frac{d V}{d t} + V$

Langkah 4

Substitusikan $t \frac{d V}{d t} + V$ untuk $\frac{d y}{d t}$ .

$t \frac{d V}{d t} + V = - V + 2$

Langkah 5

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d V}{d t}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$t \frac{d V}{d t} = - V + 2 - V$

Langkah 5.1.1.1.2

Kurangi $V$ dengan $- V$ .

$t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$

Langkah 5.1.1.2

Bagi setiap suku pada $t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ dengan $t$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ dengan $t$ .

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Langkah 5.1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Langkah 5.1.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d t}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Langkah 5.1.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Langkah 5.1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V + 2}{t}$

Langkah 5.1.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 V + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 V$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2}{t}$

Langkah 5.1.2.2.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2 (1)}{t}$

Langkah 5.1.2.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 (- V) + 2 (1)$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V + 1)}{t}$

Langkah 5.1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{- V + 1}$ .

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{2 (- V + 1)}{t}$

Langkah 5.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $- V + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Faktorkan $- V + 1$ dari $2 (- V + 1)$ .

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

Langkah 5.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

Langkah 5.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{2}{t}$

Langkah 5.1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{- V + 1} d V = \frac{2}{t} d t$

Langkah 5.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{2}{t} d t$

Langkah 5.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Biarkan $u = - V + 1$ . Kemudian $d u = - d V$ sehingga $- d u = d V$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Biarkan $u = - V + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d V}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 5.2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Langkah 5.2.2.2

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Langkah 5.2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Langkah 5.2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{2}{t} d t$

Langkah 5.2.2.5

Sederhanakan.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Langkah 5.2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- V + 1$ .

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Langkah 5.2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 5.2.3.2

Integral dari $\frac{1}{t}$ terhadap $t$ adalah $\ln (| t |)$ .

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

Langkah 5.2.3.3

Sederhanakan.

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

Langkah 5.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \ln (| - V + 1 |) = 2 \ln (| t |) + C$

Langkah 5.3

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - 2 \ln (| t |) = C$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| t |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

Langkah 5.3.2.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| t |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln (t^{2}) = C$

Langkah 5.3.3

Tambahkan $\ln (t^{2})$ ke kedua sisi persamaan.

$- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$

Langkah 5.3.4

Bagi setiap suku pada $- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - V + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Langkah 5.3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (| - V + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Langkah 5.3.4.2.2

Bagilah $\ln (| - V + 1 |)$ dengan $1$ .

$\ln (| - V + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Langkah 5.3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Langkah 5.3.4.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot C$ sebagai $- C$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Langkah 5.3.4.3.1.3

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\ln (t^{2})}{- 1}$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C - 1 \cdot \ln (t^{2})$

Langkah 5.3.4.3.1.4

Tulis kembali $- 1 \cdot \ln (t^{2})$ sebagai $- \ln (t^{2})$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C - \ln (t^{2})$

Langkah 5.3.5

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| - V + 1 |) + \ln (t^{2}) = - C$

Langkah 5.3.6

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - V + 1 | t^{2}) = - C$

Langkah 5.3.7

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (| - V + 1 | t^{2})$ .

$\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$

Langkah 5.3.8

Untuk menyelesaikan $V$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (t^{2} | - V + 1 |)} = e^{- C}$

Langkah 5.3.9

Tulis kembali $\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = t^{2} | - V + 1 |$

Langkah 5.3.10

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ .

$t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$

Langkah 5.3.10.2

Bagi setiap suku pada $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ dengan $t^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.10.2.1

Bagilah setiap suku di $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ dengan $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Langkah 5.3.10.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.10.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.10.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Langkah 5.3.10.2.2.1.2

Bagilah $| - V + 1 |$ dengan $1$ .

$| - V + 1 | = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Langkah 5.3.10.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$- V + 1 = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Langkah 5.3.10.4

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$

Langkah 5.3.10.5

Bagi setiap suku pada $- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.10.5.1

Bagilah setiap suku di $- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- V}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 5.3.10.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.10.5.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{V}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 5.3.10.5.2.2

Bagilah $V$ dengan $1$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 5.3.10.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.10.5.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.10.5.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1}$ .

$V = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 5.3.10.5.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ sebagai $- (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ .

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 5.3.10.5.3.1.3

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + 1$

Langkah 5.4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$V = - (\pm \frac{C}{t^{2}}) + 1$

Langkah 5.4.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$V = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

Langkah 6

Substitusikan $\frac{y}{t}$ untuk $V$ .

$\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

Langkah 7

Selesaikan $\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan kedua ruas dengan $t$ .

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Langkah 7.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Sederhanakan $(- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{t^{2}}$ dan $C$ .

$y = (- \frac{C}{t^{2}} + 1) t$

Langkah 7.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{C}{t^{2}} t + 1 t$

Langkah 7.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{C}{t^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$y = \frac{- C}{t^{2}} t + 1 t$

Langkah 7.2.2.1.3.2

Faktorkan $t$ dari $t^{2}$ .

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

Langkah 7.2.2.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

Langkah 7.2.2.1.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{- C}{t} + 1 t$

Langkah 7.2.2.1.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.4.1

Kalikan $t$ dengan $1$ .

$y = \frac{- C}{t} + t$

Langkah 7.2.2.1.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{C}{t} + t$

Langkah 7.2.2.1.4.3

Susun kembali $- \frac{C}{t}$ dan $t$ .

$y = t - \frac{C}{t}$