Kalkulus Contoh

$(y + 2 x) d y + d x = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan $1$ dengan $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = y + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 2 x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 3.2.2

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \cdot 1$

Langkah 3.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2$

Langkah 3.4

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $0$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = 2$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$0 = 2$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $2$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 5.2

Substitusikan $0$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 + 0}{M}$

Langkah 5.3

Substitusikan $1$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $1$ untuk $M$ .

$\frac{2 + 0}{1}$

Langkah 5.3.2

Bagilah $2 + 0$ dengan $1$ .

$2 + 0$

Langkah 5.3.3

Substitusikan $1$ untuk $M$ .

$2$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d y}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int 2 d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan aturan konstanta.

$μ (x, y) = e^{2 y + C}$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{2 y} + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $d x + (y + 2 x) d y = 0$ dengan faktor integral $e^{2 y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $1$ dengan $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

Langkah 7.2

Kalikan $y + 2 x$ dengan $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) e^{2 y} d y = 0$

Langkah 7.3

Terapkan sifat distributif.

$d x + (y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}) d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 y} d x$

Langkah 9

Integralkan $M (x, y) = e^{2 y}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = e^{2 y} x + C$

Langkah 10

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x + g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{2 y} x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $e^{2 y} x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Langkah 12.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = e^{y}$ dan $g (y) = 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Langkah 12.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Langkah 12.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 y$ .

$x (e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Langkah 12.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Langkah 12.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Langkah 12.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x (e^{2 y} \cdot 2) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Langkah 12.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 y}$ .

$x (2 \cdot e^{2 y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Langkah 12.3.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$2 x e^{2 y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x e^{2 y} + \frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Langkah 12.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Langkah 12.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x e^{2 y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Kurangkan $2 x e^{2 y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$

Langkah 13.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.2.1

Kurangi $2 x e^{2 y}$ dengan $2 x e^{2 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 0$

Langkah 13.1.2.2

Tambahkan $y e^{2 y}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$

Langkah 14

Temukan $y e^{2 y}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y e^{2 y} d y$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y e^{2 y} d y$

Langkah 14.3

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = y$ dan $d v = e^{2 y}$ .

$g (y) = y (\frac{1}{2} e^{2 y}) - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Langkah 14.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 y}$ .

$g (y) = y \frac{e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Langkah 14.4.2

Gabungkan $y$ dan $\frac{e^{2 y}}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Langkah 14.5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 y} d y)$

Langkah 14.6

Hilangkan tanda kurung.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 y} d y$

Langkah 14.7

Biarkan $u = 2 y$ . Kemudian $d u = 2 d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.7.1

Biarkan $u = 2 y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.7.1.1

Diferensialkan $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Langkah 14.7.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 14.7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 14.7.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 14.7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 14.8

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Langkah 14.9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Langkah 14.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.10.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Langkah 14.10.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Langkah 14.11

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Langkah 14.12

Tulis kembali $\frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ sebagai $\frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Langkah 14.13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 y$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Langkah 15

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Langkah 16

Sederhanakan $f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y}{2} e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Langkah 16.1.2

Gabungkan $\frac{y}{2}$ dan $e^{2 y}$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Langkah 16.1.3

Gabungkan $e^{2 y}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Langkah 16.2

Kurangi $\frac{e^{2 y}}{4}$ dengan $e^{2 y} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Susun kembali $e^{2 y}$ dan $x$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Langkah 16.2.2

Untuk menuliskan $x e^{2 y}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Langkah 16.2.3

Gabungkan $x e^{2 y}$ dan $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Langkah 16.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4 - e^{2 y}}{4} + C$

Langkah 16.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{4 \cdot (x e^{2 y}) - e^{2 y}}{4} + C$

Langkah 16.3.2

Faktorkan $e^{2 y}$ dari $4 x e^{2 y} - e^{2 y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.2.1

Faktorkan $e^{2 y}$ dari $4 x e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) - e^{2 y}}{4} + C$

Langkah 16.3.2.2

Faktorkan $e^{2 y}$ dari $- e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1}{4} + C$

Langkah 16.3.2.3

Faktorkan $e^{2 y}$ dari $e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Langkah 16.4

Untuk menuliskan $\frac{y e^{2 y}}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Langkah 16.5

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.1

Kalikan $\frac{y e^{2 y}}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Langkah 16.5.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{4} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Langkah 16.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Langkah 16.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.7.1

Faktorkan $e^{2 y}$ dari $y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.7.1.1

Faktorkan $e^{2 y}$ dari $y e^{2 y} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Langkah 16.7.1.2

Faktorkan $e^{2 y}$ dari $e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2 + 4 x - 1)}{4} + C$

Langkah 16.7.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (2 y + 4 x - 1)}{4} + C$