Kalkulus Contoh

$y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Langkah 1

Tulis soal sebagai pernyataan matematika.

$y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y (y^{3} - x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (y^{3} - x)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = y$ dan $g (y) = y^{3} - x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [y^{3} - x] + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} - x$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x]) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- x]) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.3.3

Karena $- x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2} + 0) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.3.4

Tambahkan $3 y^{2}$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2}) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.4

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (y^{1} y^{2}) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{1 + 2} + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.6

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + (y^{3} - x) \cdot 1$

Langkah 2.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Kalikan $y^{3} - x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + y^{3} - x$

Langkah 2.8.2

Tambahkan $3 y^{3}$ dan $y^{3}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} - x$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x (y^{3} + x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (y^{3} + x)]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y^{3} + x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [y^{3} + x] + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.2

Karena $y^{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y^{3}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [x]) + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x] + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.5

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (y^{3} + x) \cdot 1$

Langkah 3.3.7

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.1

Kalikan $y^{3} + x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + y^{3} + x$

Langkah 3.3.7.2

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 2 x$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $4 y^{3} - x$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $y^{3} + 2 x$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 y^{3} - x = y^{3} + 2 x$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$4 y^{3} - x = y^{3} + 2 x$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $y^{3} + 2 x$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 5.2

Substitusikan $4 y^{3} - x$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3} - x)}{M}$

Langkah 5.3

Substitusikan $y (y^{3} - x)$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $y (y^{3} - x)$ untuk $M$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3} - x)}{y (y^{3} - x)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3}) - - x}{y (y^{3} - x)}$

Langkah 5.3.2.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} - - x}{y (y^{3} - x)}$

Langkah 5.3.2.3

Kalikan $- - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} + 1 x}{y (y^{3} - x)}$

Langkah 5.3.2.3.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} + x}{y (y^{3} - x)}$

Langkah 5.3.2.4

Kurangi $4 y^{3}$ dengan $y^{3}$ .

$\frac{- 3 y^{3} + 2 x + x}{y (y^{3} - x)}$

Langkah 5.3.2.5

Tambahkan $2 x$ dan $x$ .

$\frac{- 3 y^{3} + 3 x}{y (y^{3} - x)}$

Langkah 5.3.2.6

Faktorkan $3$ dari $- 3 y^{3} + 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 y^{3}$ .

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 x}{y (y^{3} - x)}$

Langkah 5.3.2.6.2

Faktorkan $3$ dari $3 x$ .

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 (x)}{y (y^{3} - x)}$

Langkah 5.3.2.6.3

Faktorkan $3$ dari $3 (- y^{3}) + 3 (x)$ .

$\frac{3 (- y^{3} + x)}{y (y^{3} - x)}$

Langkah 5.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $- y^{3} + x$ dan $y^{3} - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Faktorkan $- 1$ dari $- y^{3}$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) + x)}{y (y^{3} - x)}$

Langkah 5.3.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $x$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) - 1 (- x))}{y (y^{3} - x)}$

Langkah 5.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (y^{3}) - 1 (- x)$ .

$\frac{3 (- (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

Langkah 5.3.3.4

Tulis kembali $- (y^{3} - x)$ sebagai $- 1 (y^{3} - x)$ .

$\frac{3 (- 1 (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

Langkah 5.3.3.5

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (- 1 (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

Langkah 5.3.3.6

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

Langkah 5.3.4

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

Langkah 5.3.5

Substitusikan $y (y^{3} - x)$ untuk $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Langkah 6.2

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Langkah 6.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 6.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Langkah 6.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Sederhanakan $- 3 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $- 3$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Langkah 6.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Langkah 6.6.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{y^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $y (y^{3} - x)$ dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y^{3}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Langkah 7.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{3}$ .

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Langkah 7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Langkah 7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(y^{3} - x) \frac{1}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Langkah 7.3

Kalikan $y^{3} - x$ dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Langkah 7.4

Kalikan $x (y^{3} + x)$ dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7.5

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + (x y^{3} + x \cdot x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7.6

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + (x y^{3} + x^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7.7

Kalikan $x y^{3} + x^{2}$ dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x y^{3} + x^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7.8

Faktorkan $x$ dari $x y^{3} + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1

Faktorkan $x$ dari $x y^{3}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3}) + x^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7.8.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3}) + x \cdot x}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7.8.3

Faktorkan $x$ dari $x (y^{3}) + x \cdot x$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x$

Langkah 9

Integralkan $M (x, y) = \frac{y^{3} - x}{y^{2}}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Karena $\frac{1}{y^{2}}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{y^{2}}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \int y^{3} - x d x$

Langkah 9.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (\int y^{3} d x + \int - x d x)$

Langkah 9.3

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C + \int - x d x)$

Langkah 9.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C - \int x d x)$

Langkah 9.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Langkah 9.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + C$

Langkah 10

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = \frac{1}{y^{2}}$ dan $g (y) = y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}] + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]$ .

$\frac{1}{y^{2}} (\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.4

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{3} x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.6

Karena $- \frac{x^{2}}{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- \frac{x^{2}}{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.7

Tulis kembali $\frac{1}{y^{2}}$ sebagai ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.8

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{- 1}$ dan $g (y) = y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.8.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.8.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.10

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} (3 \cdot x y^{2} + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.11

Tambahkan $3 x y^{2}$ dan $0$ .

$\frac{1}{y^{2}} (3 x y^{2}) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.12

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3}{y^{2}} (x y^{2}) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.13

Gabungkan $x$ dan $\frac{3}{y^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 3}{y^{2}} y^{2} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.14

Gabungkan $\frac{x \cdot 3}{y^{2}}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{x \cdot 3 y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.15

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{3 \cdot x y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.16

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.16.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.16.2

Bagilah $3 x$ dengan $1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.17

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.17.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.17.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.18

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.19

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.20

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.3.21

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 3}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.2

Terapkan sifat distributif.

$3 x + y^{3} x (- 2 \frac{1}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.3.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$3 x + y^{3} x \frac{- 2}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$3 x + y^{3} x (- \frac{2}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.3.3

Gabungkan $y^{3}$ dan $\frac{2}{y^{3}}$ .

$3 x + x (- \frac{y^{3} \cdot 2}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.3.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{y^{3} \cdot 2}{y^{3}}$ .

$3 x - \frac{x (y^{3} \cdot 2)}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{3}$ .

$3 x - \frac{x (2 \cdot y^{3})}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$3 x - \frac{2 \cdot x y^{3}}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 x - \frac{2 x y^{3}}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.3.7.2

Bagilah $2 x$ dengan $1$ .

$3 x - (2 x) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.3.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.3.9

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{- 2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.3.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} (- \frac{2}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.3.11

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$3 x - 2 x + 1 \frac{x^{2}}{2} \frac{2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.3.12

Kalikan $\frac{x^{2}}{2}$ dengan $1$ .

$3 x - 2 x + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.3.13

Kalikan $\frac{x^{2}}{2}$ dengan $\frac{2}{y^{3}}$ .

$3 x - 2 x + \frac{x^{2} \cdot 2}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.3.14

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$3 x - 2 x + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.3.15

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.3.15.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 x - 2 x + \frac{2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.3.15.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 x - 2 x + \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.3.16

Kurangi $2 x$ dengan $3 x$ .

$x + \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 12.5.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2}}{y^{3}} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Kurangkan $\frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2}}{y^{3}} - \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}} = 0$

Langkah 13.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x (y^{3} + x)}{y^{3}} = 0$

Langkah 13.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - x \cdot x}{y^{3}} = 0$

Langkah 13.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.3.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - (x \cdot x)}{y^{3}} = 0$

Langkah 13.1.3.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - x^{2}}{y^{3}} = 0$

Langkah 13.1.4

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} - x y^{3} - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.4.1

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3} + 0}{y^{3}} = 0$

Langkah 13.1.4.2

Tambahkan $- x y^{3}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3}}{y^{3}} = 0$

Langkah 13.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3}}{y^{3}} = 0$

Langkah 13.1.5.2

Bagilah $- x$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x - x = 0$

Langkah 13.1.6

Gabungkan suku balikan dalam $\frac{d g}{d y} + x - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.6.1

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Langkah 13.1.6.2

Tambahkan $\frac{d g}{d y}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Langkah 14

Temukan $0$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Langkah 14.3

Integral dari $0$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Langkah 14.4

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$g (y) = C$

Langkah 15

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + C$

Langkah 16

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) + C$

Langkah 16.2

Kalikan $\frac{1}{y^{2}}$ dengan $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}}{y^{2}} + C$

Langkah 16.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Faktorkan $x$ dari $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1.1

Faktorkan $x$ dari $y^{3} x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} - \frac{x^{2}}{2}}{y^{2}} + C$

Langkah 16.3.1.2

Faktorkan $x$ dari $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x (- \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Langkah 16.3.1.3

Faktorkan $x$ dari $x y^{3} + x (- \frac{x}{2})$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Langkah 16.3.2

Untuk menuliskan $y^{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Langkah 16.3.3

Gabungkan $y^{3}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x (\frac{y^{3} \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Langkah 16.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (x, y) = \frac{x \frac{y^{3} \cdot 2 - x}{2}}{y^{2}} + C$

Langkah 16.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x \frac{2 y^{3} - x}{2}}{y^{2}} + C$

Langkah 16.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{2 y^{3} - x}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{x (2 y^{3} - x)}{2}}{y^{2}} + C$

Langkah 16.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x)}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C$

Langkah 16.6

Gabungkan.

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x) \cdot 1}{2 y^{2}} + C$

Langkah 16.7

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x)}{2 y^{2}} + C$