Kalkulus Contoh

$e^{x} (y - 1) d x + 2 (e^{x} + 4) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $e^{x} (y - 1) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 (e^{x} + 4) d y = - e^{x} (y - 1) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ .

$\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (2 (e^{x} + 4)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Langkah 3.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ .

$\frac{2}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x} + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Langkah 3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2}{y - 1} d y = - \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Langkah 3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Langkah 3.5.2

Faktorkan $y - 1$ dari $(e^{x} + 4) (y - 1)$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Langkah 3.5.3

Faktorkan $y - 1$ dari $e^{x} (y - 1)$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} ((y - 1) e^{x}) d x$

Langkah 3.5.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} ((y - 1) e^{x}) d x$

Langkah 3.5.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{e^{x} + 4} e^{x} d x$

Langkah 3.6

Gabungkan $\frac{- 1}{e^{x} + 4}$ dan $e^{x}$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Langkah 3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{2}{y - 1} d y = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{2}{y - 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Langkah 4.2.2

Biarkan $u_{1} = y - 1$ . Kemudian $d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Biarkan $u_{1} = y - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Diferensialkan $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Langkah 4.2.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 4.2.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 4.2.2.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.2.2.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Langkah 4.2.3

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Langkah 4.2.4

Sederhanakan.

$2 \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Langkah 4.2.5

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y - 1$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Langkah 4.3.2

Biarkan $u_{2} = e^{x} + 4$ . Kemudian $d u_{2} = e^{x} d x$ sehingga $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Biarkan $u_{2} = e^{x} + 4$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Diferensialkan $e^{x} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]$

Langkah 4.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 4.3.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 4.3.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.4.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{x} + 0$

Langkah 4.3.2.1.4.2

Tambahkan $e^{x}$ dan $0$ .

$e^{x}$

Langkah 4.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.3

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Langkah 4.3.4

Sederhanakan.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 4.3.5

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $e^{x} + 4$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| e^{x} + 4 |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$2 \ln (| y - 1 |) = - \ln (| e^{x} + 4 |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan $2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| e^{x} + 4 |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| y - 1 |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln ({| y - 1 |}^{2}) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Langkah 5.2.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| y - 1 |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln ({(y - 1)}^{2}) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Langkah 5.2.1.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({(y - 1)}^{2} | e^{x} + 4 |) = C$

Langkah 5.2.1.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln ({(y - 1)}^{2} | e^{x} + 4 |)$ .

$\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2}) = C$

Langkah 5.3

Perluas $\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali $\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2})$ sebagai $\ln (| e^{x} + 4 |) + \ln ({(y - 1)}^{2})$ .

$\ln (| e^{x} + 4 |) + \ln ({(y - 1)}^{2})$

Langkah 5.3.2

Perluas $\ln ({(y - 1)}^{2})$ dengan memindahkan $2$ ke luar logaritma.

$\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1)$

Langkah 5.4

Persamaan yang diperluas adalah $\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1) = C$ .

$\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1) = C$

Langkah 5.5

Kurangkan $\ln (| e^{x} + 4 |)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$

Langkah 5.6

Bagi setiap suku pada $2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Bagilah setiap suku di $2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$ dengan $2$ .

$\frac{2 \ln (y - 1)}{2} = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Langkah 5.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \ln (y - 1)}{2} = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Langkah 5.6.2.1.2

Bagilah $\ln (y - 1)$ dengan $1$ .

$\ln (y - 1) = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Langkah 5.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (y - 1) = \frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Langkah 5.7

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (y - 1)} = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Langkah 5.8

Tulis kembali $\ln (y - 1) = \frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} = y - 1$

Langkah 5.9

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ .

$y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Langkah 5.9.2

Sederhanakan $e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.2.1

Tulis kembali.

$y - 1 = 0 + 0 + e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Langkah 5.9.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Langkah 5.9.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y - 1 = e^{\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Langkah 5.9.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.3.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$y = e^{\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Langkah 5.9.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.3.2.1

Pisahkan pecahan $\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$ menjadi dua pecahan.

$y = e^{\frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Langkah 5.9.3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Langkah 6

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = e^{C - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Langkah 6.2

Susun kembali suku-suku.

$y = e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2} + C} + 1$

Langkah 6.3

Tulis kembali $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2} + C}$ sebagai $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} e^{C}$ .

$y = e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} e^{C} + 1$

Langkah 6.4

Susun kembali $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ dan $e^{C}$ .

$y = e^{C} e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$