Kalkulus Contoh

$(x^{3} - 2 y) d x - 2 x d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x^{3} - 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} - 2 y]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 2 y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Langkah 1.2.2

Karena $x^{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{3}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 y$ terhadap $y$ adalah $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2$

Langkah 1.4

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 2.2

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \cdot 1$

Langkah 2.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 2$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 2$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 = - 2$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$- 2 = - 2$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 2 x d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = - 2 x$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = - 2 x y + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = - 2 x y + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{3} - 2 y$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x y + g (x)] = x^{3} - 2 y$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 x y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - 2 y$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $- 2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x y$ terhadap $x$ adalah $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - 2 y$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - 2 y$

Langkah 8.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - 2 y$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$- 2 y + \frac{d g}{d x} = x^{3} - 2 y$

Langkah 8.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = x^{3} - 2 y$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tambahkan $2 y$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = x^{3} - 2 y + 2 y$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $x^{3} - 2 y + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Tambahkan $- 2 y$ dan $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $x^{3}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3}$

Langkah 10

Temukan $x^{3}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{3} d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{3} d x$

Langkah 10.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = - 2 x y + g (x)$ .

$f (x, y) = - 2 x y + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Langkah 12

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$f (x, y) = - 2 x y + \frac{x^{4}}{4} + C$