Kalkulus Contoh

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y = 5 e^{x}$

Langkah 1

Periksa apakah sisi kiri persamaan merupakan turunan dari suku $(x - 3) y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x - 3$ dan $g (x) = y$ .

$(x - 3) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x - 3]$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$(x - 3) y' + y \frac{d}{d x} [x - 3]$

Langkah 1.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x - 3) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x - 3) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Langkah 1.5

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(x - 3) y' + y (1 + 0)$

Langkah 1.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$(x - 3) y' + y \cdot 1$

Langkah 1.7

Substitusikan $\frac{d y}{d x}$ untuk $y'$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Langkah 1.8

Susun kembali $y$ dan $1$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Langkah 1.9

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y$

Langkah 2

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [(x - 3) y] = 5 e^{x}$

Langkah 3

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [(x - 3) y] d x = \int 5 e^{x} d x$

Langkah 4

Integralkan sisi kiri.

$(x - 3) y = \int 5 e^{x} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$(x - 3) y = 5 \int e^{x} d x$

Langkah 5.2

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$(x - 3) y = 5 (e^{x} + C)$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$(x - 3) y = 5 e^{x} + C$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $(x - 3) y = 5 e^{x} + C$ dengan $x - 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $(x - 3) y = 5 e^{x} + C$ dengan $x - 3$ .

$\frac{(x - 3) y}{x - 3} = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x - 3) y}{x - 3} = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{5 e^{x} + C}{x - 3}$