Kalkulus Contoh

$3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 4 \frac{d y}{d t} - y = 0$

Langkah 1

Asumsikan semua penyelesaian sebagai bentuk $y = e^{r t}$ .

Langkah 2

Temukan persamaan karakteristik untuk $3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 4 \frac{d y}{d t} - y = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

$\frac{d y}{d t} = r e^{r t}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

Langkah 2.3

Substitusikan ke dalam persamaan diferensial.

$3 (r^{2} e^{r t}) + 4 (r e^{r t}) - e^{r t} = 0$

Langkah 2.4

Hilangkan tanda kurung.

$3 r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} - e^{r t} = 0$

Langkah 2.5

Faktorkan $e^{r t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Faktorkan $e^{r t}$ dari $3 r^{2} e^{r t}$ .

$e^{r t} (3 r^{2}) + 4 r e^{r t} - e^{r t} = 0$

Langkah 2.5.2

Faktorkan $e^{r t}$ dari $4 r e^{r t}$ .

$e^{r t} (3 r^{2}) + e^{r t} (4 r) - e^{r t} = 0$

Langkah 2.5.3

Faktorkan $e^{r t}$ dari $e^{r t} (3 r^{2}) + e^{r t} (4 r)$ .

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) - e^{r t} = 0$

Langkah 2.5.4

Faktorkan $e^{r t}$ dari $- e^{r t}$ .

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot - 1 = 0$

Langkah 2.5.5

Faktorkan $e^{r t}$ dari $e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot - 1$ .

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r - 1) = 0$

Langkah 2.6

Karena eksponensial tidak boleh nol, bagi kedua sisi dengan $e^{r t}$ .

$3 r^{2} + 4 r - 1 = 0$

Langkah 3

Selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 3$ , $b = 4$ , dan $c = - 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $r$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.3.1.2.2

Kalikan $- 12$ dengan $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.3.1.3

Tambahkan $16$ dan $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.3.1.4

Tulis kembali $28$ sebagai $2^{2} \cdot 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $28$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.3.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.3.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Langkah 3.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.4.1.2.2

Kalikan $- 12$ dengan $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.4.1.3

Tambahkan $16$ dan $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.4.1.4

Tulis kembali $28$ sebagai $2^{2} \cdot 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $28$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.4.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.4.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.4.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Langkah 3.4.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$r = \frac{- 2 + \sqrt{7}}{3}$

Langkah 3.4.5

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{7}}{3}$

Langkah 3.4.6

Faktorkan $- 1$ dari $\sqrt{7}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{7})}{3}$

Langkah 3.4.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{7})$ .

$r = \frac{- 1 (2 - \sqrt{7})}{3}$

Langkah 3.4.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$r = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$

Langkah 3.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.5.1.2.2

Kalikan $- 12$ dengan $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.5.1.3

Tambahkan $16$ dan $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.5.1.4

Tulis kembali $28$ sebagai $2^{2} \cdot 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $28$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.5.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.5.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.5.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Langkah 3.5.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$r = \frac{- 2 - \sqrt{7}}{3}$

Langkah 3.5.5

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{7}}{3}$

Langkah 3.5.6

Faktorkan $- 1$ dari $- \sqrt{7}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{7})}{3}$

Langkah 3.5.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (2) - (\sqrt{7})$ .

$r = \frac{- 1 (2 + \sqrt{7})}{3}$

Langkah 3.5.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$r = - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

Langkah 3.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$r = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

Langkah 4

Dengan dua nilai yang ditemukan dari $r$ , dua penyelesaan dapat dibuat.

$y_{1} = e^{- \frac{2 - \sqrt{7}}{3} t}$

$y_{2} = e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Langkah 5

Menurut prinsip superposisi, penyelesaian umumnya adalah kombinasi linear kedua penyelesaian untuk persamaan diferensial linear homogen ordo dua.

$y = c_{1} e^{- \frac{2 - \sqrt{7}}{3} t} + c_{2} e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Langkah 6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $t$ dan $\frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{t (2 - \sqrt{7})}{3}} + c_{2} e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Langkah 6.2

Gabungkan $t$ dan $\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{t (2 - \sqrt{7})}{3}} + c_{2} e^{- \frac{t (2 + \sqrt{7})}{3}}$