Kalkulus Contoh

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 4 x y^{2}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{2}} (4 x y^{2})$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = 4 \frac{1}{y^{2}} (x y^{2})$

Langkah 1.2.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (x y^{2})$

Langkah 1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $x y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} x)$

Langkah 1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} x)$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = 4 x$

Langkah 1.3

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$\frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 4 x$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) d y = 4 x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Tulis kembali $\frac{1}{y^{2}}$ sebagai ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 2} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Langkah 2.2.2

Kalikan $y^{- 2} (y^{2} - 1)$ .

$\int y^{- 2} y^{2} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Kalikan $y^{- 2}$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int y^{- 2 + 2} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Langkah 2.2.3.1.2

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$\int y^{0} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Langkah 2.2.3.2

Sederhanakan $y^{0}$ .

$\int 1 + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Langkah 2.2.3.3

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $y^{- 2}$ .

$\int 1 - 1 \cdot y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Langkah 2.2.3.4

Tulis kembali $- 1 y^{- 2}$ sebagai $- y^{- 2}$ .

$\int 1 - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Langkah 2.2.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d y + \int - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Langkah 2.2.5

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Langkah 2.2.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Langkah 2.2.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$y + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int 4 x d x$

Langkah 2.2.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.8.1

Sederhanakan.

$y - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

Langkah 2.2.8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.8.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

Langkah 2.2.8.2.2

Kalikan $\frac{1}{y}$ dengan $1$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 \int x d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ sebagai $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 2 x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, y, 1, 1$

Langkah 3.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$y$

Langkah 3.2

Kalikan setiap suku pada $y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$ dengan $y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan setiap suku dalam $y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$ dengan $y$ .

$y \cdot y + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y^{2} + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

Langkah 3.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

Langkah 3.2.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} + 1 = 2 x^{2} y + K y$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $y$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$2 x^{2} y + K y = y^{2} + 1$

Langkah 3.3.2

Kurangkan $y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x^{2} y + K y - y^{2} = 1$

Langkah 3.3.3

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x^{2} y + K y - y^{2} - 1 = 0$

Langkah 3.3.4

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.3.5

Substitusikan nilai-nilai $a = - 1$ , $b = 2 x^{2} + K$ , dan $c = - 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{- (2 x^{2} + K) \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- (2 x^{2}) - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6.1.3

Tulis kembali ${(2 x^{2} + K)}^{2}$ sebagai $(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6.1.4

Perluas $(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2} + K) + K (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6.1.4.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6.1.4.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6.1.5

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1.5.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6.1.5.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1.5.1.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6.1.5.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6.1.5.1.2.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6.1.5.1.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6.1.5.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + 2 K x^{2} + K \cdot K - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6.1.5.1.5

Kalikan $K$ dengan $K$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + 2 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6.1.5.2

Tambahkan $2 x^{2} K$ dan $2 K x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1.5.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 K x^{2} + 2 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6.1.5.2.2

Tambahkan $2 K x^{2}$ dan $2 K x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6.1.6

Kalikan $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1.6.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} + 4 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6.1.6.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6.1.7

Tulis kembali $4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1.7.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1.7.1.1

Tulis kembali $4 x^{4}$ sebagai ${(2 x^{2})}^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2})}^{2} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6.1.7.1.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$4 K x^{2} = 2 \cdot (2 x^{2}) \cdot K$

Langkah 3.3.6.1.7.1.3

Tulis kembali polinomialnya.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2})}^{2} + 2 \cdot (2 x^{2}) \cdot K + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6.1.7.1.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = 2 x^{2}$ dan $b = K$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6.1.7.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 2^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6.1.7.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 2 x^{2} + K$ dan $b = 2$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{- 2}$

Langkah 3.3.6.3

Sederhanakan $\frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 x^{2} + K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

Langkah 3.3.7

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)}}{2}$