Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 3 x^{2} e^{x^{2}}$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 2 x d x}$

Langkah 1.2

Integralkan $- 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$e^{- 2 \int x d x}$

Langkah 1.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Tulis kembali $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Langkah 1.2.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- x^{2}}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} (3 x^{2} e^{x^{2}})$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} (3 x^{2} e^{x^{2}})$

Langkah 2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{- x^{2}} (x^{2} e^{x^{2}})$

Langkah 2.4

Kalikan $e^{- x^{2}}$ dengan $e^{x^{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Pindahkan $e^{x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 (e^{x^{2}} e^{- x^{2}}) x^{2}$

Langkah 2.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{x^{2} - x^{2}} x^{2}$

Langkah 2.4.3

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{0} x^{2}$

Langkah 2.5

Sederhanakan $3 e^{0} x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 x^{2}$

Langkah 2.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 3 x^{2}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 3 x^{2}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 3 x^{2} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{- x^{2}} y = \int 3 x^{2} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$e^{- x^{2}} y = 3 \int x^{2} d x$

Langkah 6.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Langkah 6.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Tulis kembali $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ sebagai $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$e^{- x^{2}} y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Langkah 6.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{- x^{2}} y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Langkah 6.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{- x^{2}} y = 1 x^{3} + C$

Langkah 6.3.2.3

Kalikan $x^{3}$ dengan $1$ .

$e^{- x^{2}} y = x^{3} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{- x^{2}} y = x^{3} + C$ dengan $e^{- x^{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{- x^{2}} y = x^{3} + C$ dengan $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{x^{3}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{x^{3}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$