Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \sin (2 x) y^{2}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (\sin (2 x) y^{2})$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $\sin (2 x) y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \sin (2 x))$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \sin (2 x))$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \sin (2 x)$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \sin (2 x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \sin (2 x) d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \sin (2 x) d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \sin (2 x) d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \sin (2 x) d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \sin (2 x) d x$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $- y^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \sin (2 x) d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 2.3.1.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Langkah 2.3.4

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u) + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Sederhanakan.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C_{2}$

Langkah 2.3.5.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\cos (u)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{\cos (2 x)}{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.7

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{1}{2} \cos (2 x) + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\cos (2 x)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{\cos (2 x)}{2} + K$

Langkah 3.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y, 2, 1$

Langkah 3.2.2

Karena $y, 2, 1$ memiliki bilangan dan variabel, ada dua langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian numerik $1, 2, 1$ kemudian temukan KPK untuk bagian variabel $y^{1}$ .

Langkah 3.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 3.2.4

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 3.2.5

Karena $2$ tidak memiliki faktor selain $1$ dan $2$ .

$2$ adalah bilangan prima

Langkah 3.2.6

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 3.2.7

KPK dari $1, 2, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$2$

Langkah 3.2.8

Faktor untuk $y^{1}$ adalah $y$ itu sendiri.

$y^{1} = y$

$y$ terjadi $1$ kali.

Langkah 3.2.9

KPK dari $y^{1}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y$

Langkah 3.2.10

KPK untuk $y, 2, 1$ adalah bagian bilangan $2$ dikalikan dengan bagian variabel.

$2 y$

Langkah 3.3

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{y} = - \frac{\cos (2 x)}{2} + K$ dengan $2 y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{y} = - \frac{\cos (2 x)}{2} + K$ dengan $2 y$ .

$- \frac{1}{y} (2 y) = - \frac{\cos (2 x)}{2} (2 y) + K (2 y)$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{y} (2 y) = - \frac{\cos (2 x)}{2} (2 y) + K (2 y)$

Langkah 3.3.2.1.2

Faktorkan $y$ dari $2 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = - \frac{\cos (2 x)}{2} (2 y) + K (2 y)$

Langkah 3.3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = - \frac{\cos (2 x)}{2} (2 y) + K (2 y)$

Langkah 3.3.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \cdot 2 = - \frac{\cos (2 x)}{2} (2 y) + K (2 y)$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 = - \frac{\cos (2 x)}{2} (2 y) + K (2 y)$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\cos (2 x)}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 2 = \frac{- \cos (2 x)}{2} (2 y) + K (2 y)$

Langkah 3.3.3.1.1.2

Faktorkan $2$ dari $2 y$ .

$- 2 = \frac{- \cos (2 x)}{2} (2 (y)) + K (2 y)$

Langkah 3.3.3.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 = \frac{- \cos (2 x)}{2} (2 y) + K (2 y)$

Langkah 3.3.3.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 = - \cos (2 x) y + K (2 y)$

Langkah 3.3.3.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 2 = - \cos (2 x) y + 2 K y$

Langkah 3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \cos (2 x) y + 2 K y$ .

$- 2 = - y \cos (2 x) + 2 K y$

Langkah 3.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- y \cos (2 x) + 2 K y = - 2$ .

$- y \cos (2 x) + 2 K y = - 2$

Langkah 3.4.2

Gunakan identitas sudut ganda untuk mengubah $\cos (2 x)$ menjadi $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- y (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 K y = - 2$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.1

Terapkan sifat distributif.

$- y \cdot 1 - y (- 2 \sin^{2} (x)) + 2 K y = - 2$

Langkah 3.4.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- y - y (- 2 \sin^{2} (x)) + 2 K y = - 2$

Langkah 3.4.3.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- y - 1 \cdot - 2 y \sin^{2} (x) + 2 K y = - 2$

Langkah 3.4.3.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$- y + 2 y \sin^{2} (x) + 2 K y = - 2$

Langkah 3.4.4

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Faktorkan $y$ dari $- y + 2 y \sin^{2} (x) + 2 K y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1.1

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$y \cdot - 1 + 2 y \sin^{2} (x) + 2 K y = - 2$

Langkah 3.4.4.1.2

Faktorkan $y$ dari $2 y \sin^{2} (x)$ .

$y \cdot - 1 + y (2 \sin^{2} (x)) + 2 K y = - 2$

Langkah 3.4.4.1.3

Faktorkan $y$ dari $2 K y$ .

$y \cdot - 1 + y (2 \sin^{2} (x)) + y (2 K) = - 2$

Langkah 3.4.4.1.4

Faktorkan $y$ dari $y \cdot - 1 + y (2 \sin^{2} (x))$ .

$y \cdot (- 1 + 2 \sin^{2} (x)) + y (2 K) = - 2$

Langkah 3.4.4.1.5

Faktorkan $y$ dari $y \cdot (- 1 + 2 \sin^{2} (x)) + y (2 K)$ .

$y (- 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 K) = - 2$

Langkah 3.4.4.2

Bagi setiap suku pada $y (- 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 K) = - 2$ dengan $- 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1

Bagilah setiap suku di $y (- 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 K) = - 2$ dengan $- 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 K$ .

$\frac{y (- 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 K)}{- 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 K} = \frac{- 2}{- 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 K}$

Langkah 3.4.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (- 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 K)}{- 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 K} = \frac{- 2}{- 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 K}$

Langkah 3.4.4.2.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 2}{- 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 K}$

Langkah 3.4.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{2}{- 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 K}$

Langkah 3.4.4.2.3.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$y = - \frac{2}{- 1 (1) + 2 \sin^{2} (x) + 2 K}$

Langkah 3.4.4.2.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $2 \sin^{2} (x)$ .

$y = - \frac{2}{- 1 (1) - (- 2 \sin^{2} (x)) + 2 K}$

Langkah 3.4.4.2.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$y = - \frac{2}{- 1 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 K}$

Langkah 3.4.4.2.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $2 K$ .

$y = - \frac{2}{- 1 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - (- 2 K)}$

Langkah 3.4.4.2.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - (- 2 K)$ .

$y = - \frac{2}{- 1 (1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 K)}$

Langkah 3.4.4.2.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.3.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - - \frac{2}{1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 K}$

Langkah 3.4.4.2.3.7.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = 1 \frac{2}{1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 K}$

Langkah 3.4.4.2.3.7.3

Kalikan $\frac{2}{1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 K}$ dengan $1$ .

$y = \frac{2}{1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 K}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{2}{1 - 2 \sin^{2} (x) + K}$