Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x + 1}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1} y$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x + 1} y)$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $y$ dari $\frac{x}{x + 1} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 1})$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 1})$

Langkah 1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah $x$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Langkah 2.3.1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Langkah 2.3.1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Langkah 2.3.1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Langkah 2.3.1.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 2.3.3

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 2.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 2.3.5

Biarkan $u = x + 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Biarkan $u = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.3.5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.5.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.3.5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.3.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.6

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

Langkah 2.3.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = x - \ln (| x + 1 |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) + \ln (| x + 1 |) = x + C$

Langkah 3.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x + 1 |) = x + C$

Langkah 3.3

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\ln (| y (x + 1) |) = x + C$

Langkah 3.4

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y x + y \cdot 1 |) = x + C$

Langkah 3.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\ln (| y x + y |) = x + C$

Langkah 3.6

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y x + y |)} = e^{x + C}$

Langkah 3.7

Tulis kembali $\ln (| y x + y |) = x + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y x + y |$

Langkah 3.8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y x + y | = e^{x + C}$ .

$| y x + y | = e^{x + C}$

Langkah 3.8.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y x + y = \pm e^{x + C}$

Langkah 3.8.3

Faktorkan $y$ dari $y x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1

Faktorkan $y$ dari $y x$ .

$y (x) + y = \pm e^{x + C}$

Langkah 3.8.3.2

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y (x) + y = \pm e^{x + C}$

Langkah 3.8.3.3

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$y (x) + y \cdot 1 = \pm e^{x + C}$

Langkah 3.8.3.4

Faktorkan $y$ dari $y (x) + y \cdot 1$ .

$y (x + 1) = \pm e^{x + C}$

Langkah 3.8.4

Bagi setiap suku pada $y (x + 1) = \pm e^{x + C}$ dengan $x + 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.4.1

Bagilah setiap suku di $y (x + 1) = \pm e^{x + C}$ dengan $x + 1$ .

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{x + C}}{x + 1}$

Langkah 3.8.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{x + C}}{x + 1}$

Langkah 3.8.4.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{x + C}}{x + 1}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{x + C}$ sebagai $e^{x} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{x} e^{C}}{x + 1}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{x}$ dan $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{x}}{x + 1}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = \frac{C e^{x}}{x + 1}$