Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x + 8}{y - 1}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y - 1$ .

$(y - 1) \frac{d y}{d x} = (y - 1) \frac{3 x + 8}{y - 1}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(y - 1) \frac{d y}{d x} = (y - 1) \frac{3 x + 8}{y - 1}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(y - 1) \frac{d y}{d x} = 3 x + 8$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$(y - 1) d y = (3 x + 8) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y - 1 d y = \int 3 x + 8 d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int y d y + \int - 1 d y = \int 3 x + 8 d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 1 d y = \int 3 x + 8 d x$

Langkah 2.2.3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} = \int 3 x + 8 d x$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \int 3 x + 8 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \int 3 x d x + \int 8 d x$

Langkah 2.3.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = 3 \int x d x + \int 8 d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 8 d x$

Langkah 2.3.4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = 3 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + 8 x + C_{6}$

Langkah 2.3.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \frac{3}{2} x^{2} + 8 x + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y = \frac{3}{2} x^{2} + 8 x + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - y = \frac{3}{2} x^{2} + 8 x + K$

Langkah 3.2

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - y = \frac{3 x^{2}}{2} + 8 x + K$

Langkah 3.3

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kurangkan $\frac{3 x^{2}}{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{3 x^{2}}{2} = 8 x + K$

Langkah 3.3.2

Kurangkan $8 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{3 x^{2}}{2} - 8 x = K$

Langkah 3.3.3

Kurangkan $K$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{3 x^{2}}{2} - 8 x - K = 0$

Langkah 3.4

Kalikan dengan penyebut sekutu terkecil $2$ , kemudian sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- y) + 2 (- \frac{3 x^{2}}{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- y) + 2 (- \frac{3 x^{2}}{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} + 2 (- y) + 2 (- \frac{3 x^{2}}{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y^{2} - 2 y + 2 (- \frac{3 x^{2}}{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{3 x^{2}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$y^{2} - 2 y + 2 (\frac{- 3 x^{2}}{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} - 2 y + 2 (\frac{- 3 x^{2}}{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} - 2 y - 3 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.4

Kalikan $- 8$ dengan $2$ .

$y^{2} - 2 y - 3 x^{2} - 16 x + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y^{2} - 2 y - 3 x^{2} - 16 x - 2 K = 0$

Langkah 3.4.3

Pindahkan $- 2 y$ .

$y^{2} - 3 x^{2} - 16 x - 2 K - 2 y = 0$

Langkah 3.4.4

Pindahkan $- 16 x$ .

$y^{2} - 3 x^{2} - 2 K - 16 x - 2 y = 0$

Langkah 3.4.5

Susun kembali $y^{2}$ dan $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + y^{2} - 2 K - 16 x - 2 y = 0$

Langkah 3.5

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.6

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 2$ , dan $c = - 3 x^{2} - 2 K - 16 x$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 3 x^{2} - 2 K - 16 x))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 x^{2} - 2 K - 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 3 x^{2} - 2 K - 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (- 3 x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.4.1

Kalikan $- 3$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.4.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12 x^{2} + 8 K - 4 (- 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.4.3

Kalikan $- 16$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12 x^{2} + 8 K + 64 x}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.5

Faktorkan $4$ dari $4 + 12 x^{2} + 8 K + 64 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.5.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 12 x^{2} + 8 K + 64 x}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.5.2

Faktorkan $4$ dari $12 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (3 x^{2}) + 8 K + 64 x}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.5.3

Faktorkan $4$ dari $8 K$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (3 x^{2}) + 4 (2 K) + 64 x}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.5.4

Faktorkan $4$ dari $64 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (3 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (16 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.5.5

Faktorkan $4$ dari $4 (1) + 4 (3 x^{2})$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + 3 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (16 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.5.6

Faktorkan $4$ dari $4 (1 + 3 x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + 3 x^{2} + 2 K) + 4 (16 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.5.7

Faktorkan $4$ dari $4 (1 + 3 x^{2} + 2 K) + 4 (16 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.6

Tulis kembali $4 (1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x)$ sebagai $2^{2} (1^{2} + 3 x^{2} + 2 K + 16 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.6.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.6.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + 3 x^{2} + 2 K + 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.8

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}}{2}$

Langkah 3.7.3

Sederhanakan $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}$

Langkah 3.8

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = 1 + \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}$

$y = 1 + \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = 1 + \sqrt{1 + 3 x^{2} + K + 16 x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + 3 x^{2} + K + 16 x}$