Kalkulus Contoh

$(2 x y - x) d x + (y^{2} + x^{2}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x y - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - x]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x y - x$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- x]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

Langkah 1.4.2

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = y^{2} + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 x$

Langkah 2.5

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 x$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 x$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 2 x$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$2 x = 2 x$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y - x d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = 2 x y - x$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int - x d x$

Langkah 5.2

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2 y$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int - x d x$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

Langkah 5.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x d x$

Langkah 5.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = 2 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Langkah 5.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Langkah 5.7.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Langkah 5.7.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = 1 y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Langkah 5.7.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Langkah 5.7.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Langkah 5.7.5

Untuk menuliskan $y x^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Langkah 5.7.6

Gabungkan $y x^{2}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Langkah 5.7.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + C$

Langkah 5.7.8

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot (y x^{2}) - x^{2}}{2} + C$

Langkah 5.7.9

Hilangkan tanda kurung.

$f (x, y) = \frac{2 y x^{2} - x^{2}}{2} + C$

Langkah 5.8

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + x^{2}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Langkah 8.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y x^{2} - x^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Langkah 8.3.3

Karena $2 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y x^{2}$ terhadap $y$ adalah $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Langkah 8.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Langkah 8.3.5

Karena $- x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Langkah 8.3.6

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Langkah 8.3.7

Tambahkan $2 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Langkah 8.3.8

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Langkah 8.3.9

Gabungkan $\frac{2}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Langkah 8.3.10

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.10.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Langkah 8.3.10.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} + \frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2}$

Langkah 8.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} = y^{2} + x^{2}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2} - x^{2}$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $y^{2} + x^{2} - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $y^{2}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

Langkah 10

Temukan $y^{2}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{2} d y$

Langkah 10.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 12

Sederhanakan $f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2}) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 12.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 12.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 12.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 12.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 12.1.4

Untuk menuliskan $y x^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 12.1.5

Gabungkan $y x^{2}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 12.1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 12.1.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.7.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $y x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.7.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $y x^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 12.1.7.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $- x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 12.1.7.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2 - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 12.1.7.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 12.1.8

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{y^{3}}{3} + C$

Langkah 12.2

Untuk menuliskan $\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} + C$

Langkah 12.3

Untuk menuliskan $\frac{y^{3}}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Langkah 12.4

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Kalikan $\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Langkah 12.4.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Langkah 12.4.3

Kalikan $\frac{y^{3}}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} + C$

Langkah 12.4.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Langkah 12.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Langkah 12.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.6.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = \frac{(x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Langkah 12.6.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Langkah 12.6.3

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - 1 \cdot x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Langkah 12.6.4

Tulis kembali $- 1 x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Langkah 12.6.5

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2} y \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Langkah 12.6.6

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Langkah 12.6.7

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Langkah 12.6.8

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + 2 y^{3}}{6} + C$