Kalkulus Contoh

$\frac{d x}{d t} = x^{2} + \frac{1}{36}$ , $x (0) = 2$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + \frac{1}{36}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = 1$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = 1 d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = \int d t$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Susun kembali $x^{2}$ dan $\frac{1}{36}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{36} + x^{2}} d x = \int d t$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{36}$ sebagai ${(\frac{1}{6})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

Langkah 2.2.3

Integral dari $\frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{6}$ .

$1 \cdot 6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Langkah 2.2.4.2

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Langkah 2.2.4.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{6}$ .

$6 \arctan (x \cdot 6) + C_{1} = \int d t$

Langkah 2.2.4.4

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $x$ .

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = \int d t$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = t + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$6 \arctan (6 x) = t + K$

Langkah 3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $6 \arctan (6 x) = t + K$ dengan $6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $6 \arctan (6 x) = t + K$ dengan $6$ .

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Langkah 3.1.2.1.2

Bagilah $\arctan (6 x)$ dengan $1$ .

$\arctan (6 x) = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Langkah 3.2

Ambil balikan arctangen dari kedua sisi persamaan untuk mengambil $x$ dari dalam arctangen.

$6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ dengan $6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah setiap suku di $6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ dengan $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Langkah 3.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $t$ dan $2$ untuk $x$ padda $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ .

$2 = \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6}$

Langkah 6

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$ .

$\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$

Langkah 6.2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $6$ .

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Langkah 6.3

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Langkah 6.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 6 \cdot 2$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 12$

Langkah 6.4

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $K$ dari dalam tangen.

$\frac{0}{6} + K = \arctan (12)$

Langkah 6.5

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Gabungkan suku balikan dalam $\frac{0}{6} + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1.1

Bagilah $0$ dengan $6$ .

$0 + K = \arctan (12)$

Langkah 6.5.1.2

Tambahkan $0$ dan $K$ .

$K = \arctan (12)$

Langkah 6.6

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Evaluasi $\arctan (12)$ .

$K = 1.48765509$

Langkah 6.7

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

Langkah 6.8

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1

Hilangkan tanda kurung.

$K = 3.14159265 + 1.48765509$

Langkah 6.8.2

Hilangkan tanda kurung.

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

Langkah 6.8.3

Tambahkan $3.14159265$ dan $1.48765509$ .

$K = 4.62924774$

Langkah 6.9

Tentukan periode dari $\tan (\frac{0}{6} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 6.9.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 6.9.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 6.9.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 6.10

Periode dari fungsi $\tan (\frac{0}{6} + K)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$K = 1.48765509 + π n, 4.62924774 + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6.11

Gabungkan $1.48765509 + π n$ dan $4.62924774 + π n$ menjadi $1.48765509 + π n$ .

$K = 1.48765509 + π n$

Langkah 7

Substitusikan $1.48765509 + π n$ untuk $K$ dalam $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $1.48765509 + π n$ untuk $K$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + 1.48765509 + π n)}{6}$