Kalkulus Contoh

$(y^{2} + 2) d x - x y d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $(y^{2} + 2) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x y d y = - (y^{2} + 2) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x (y^{2} + 2)}$ .

$\frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x (y^{2} + 2)}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{x (y^{2} + 2)} (x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{- 1}{x (y^{2} + 2)} (x (y)) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Langkah 3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{x (y^{2} + 2)} (x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Langkah 3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{y^{2} + 2} y d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Langkah 3.3

Gabungkan $\frac{- 1}{y^{2} + 2}$ dan $y$ .

$\frac{- y}{y^{2} + 2} d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Langkah 3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Langkah 3.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = - \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (y^{2} + 2) d x$

Langkah 3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2} + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x (y^{2} + 2)}$ ke dalam pembilangnya.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{- 1}{x (y^{2} + 2)} (y^{2} + 2) d x$

Langkah 3.6.2

Faktorkan $y^{2} + 2$ dari $x (y^{2} + 2)$ .

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 2) x} (y^{2} + 2) d x$

Langkah 3.6.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 2) x} (y^{2} + 2) d x$

Langkah 3.6.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Langkah 3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int - \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.2

Biarkan $u = y^{2} + 2$ . Kemudian $d u = 2 y d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Biarkan $u = y^{2} + 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Diferensialkan $y^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 2]$

Langkah 4.2.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} + 2$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2]$

Langkah 4.2.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [2]$

Langkah 4.2.2.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$2 y + 0$

Langkah 4.2.2.1.5

Tambahkan $2 y$ dan $0$ .

$2 y$

Langkah 4.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.5

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.6

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) = - \ln (| x |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |)) = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Langkah 5.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Gabungkan $\ln (| y^{2} + 2 |)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| y^{2} + 2 |)}{2}) = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\ln (| y^{2} + 2 |)}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 2 \frac{- \ln (| y^{2} + 2 |)}{2} = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| y^{2} + 2 |)}{2} = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| y^{2} + 2 |)}{2} = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- - \ln (| y^{2} + 2 |) = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \ln (| y^{2} + 2 |) = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.3.2

Kalikan $\ln (| y^{2} + 2 |)$ dengan $1$ .

$\ln (| y^{2} + 2 |) = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $- 2 (- \ln (| x |) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y^{2} + 2 |) = - 2 (- \ln (| x |)) - 2 C$

Langkah 5.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\ln (| y^{2} + 2 |) = 2 \ln (| x |) - 2 C$

Langkah 5.3

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y^{2} + 2 |) - 2 \ln (| x |) = - 2 C$

Langkah 5.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan $\ln (| y^{2} + 2 |) - 2 \ln (| x |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln (| y^{2} + 2 |) - \ln ({| x |}^{2}) = - 2 C$

Langkah 5.4.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (| y^{2} + 2 |) - \ln (x^{2}) = - 2 C$

Langkah 5.4.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}}) = - 2 C$

Langkah 5.5

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}})} = e^{- 2 C}$

Langkah 5.6

Tulis kembali $\ln (\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}}) = - 2 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = \frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}}$

Langkah 5.7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}} = e^{- 2 C}$ .

$\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}} = e^{- 2 C}$

Langkah 5.7.2

Kalikan kedua ruas dengan $x^{2}$ .

$\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}} x^{2} = e^{- 2 C} x^{2}$

Langkah 5.7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}} x^{2} = e^{- 2 C} x^{2}$

Langkah 5.7.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y^{2} + 2 | = e^{- 2 C} x^{2}$

Langkah 5.7.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- 2 C} x^{2}$ .

$| y^{2} + 2 | = x^{2} e^{- 2 C}$

Langkah 5.7.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.4.1

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 2 = \pm x^{2} e^{- 2 C}$

Langkah 5.7.4.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} = \pm x^{2} e^{- 2 C} - 2$

Langkah 5.7.4.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{- 2 C} - 2}$

Langkah 6

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 2}$

Langkah 6.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = \pm \sqrt{C x^{2} - 2}$