Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = y x (x + 2)$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x (x + 2))$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Faktorkan $y$ dari $y x (x + 2)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (x + 2)))$

Langkah 1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (x + 2)))$

Langkah 1.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (x + 2)$

Langkah 1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 2$

Langkah 1.2.3

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 2$

Langkah 1.2.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = (x^{2} + 2 x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} + 2 x d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} + 2 x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 2 x d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 2 x d x$

Langkah 2.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 2 \int x d x$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 1 x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.5.2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6

Susun kembali suku-suku.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C} = | y |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C}$ .

$| y | = e^{x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C}$

Langkah 3.3.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$| y | = e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C}$

Langkah 3.3.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C}$ sebagai $e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3}} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3}}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3}}$