Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = y \tan (x) - 2 \sin (x)$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $y \tan (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} - y \tan (x) = - 2 \sin (x)$

Langkah 1.2

Faktorkan $y$ dari $- y \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \tan (x)) = - 2 \sin (x)$

Langkah 1.3

Susun kembali $y$ dan $- 1 \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \tan (x) y = - 2 \sin (x)$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - 1 \tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 1 \tan (x) d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $- 1 \tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \tan (x) d x}$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{- (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

$e^{- \ln (| \sec (x) |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- \ln (\sec (x))}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (\sec^{- 1} (x))}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\sec^{- 1} (x)$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sec (x)}$

Langkah 2.7

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Langkah 2.8

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 \cos (x)$

Langkah 2.9

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x)$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (- 1 \tan (x) y) = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tulis kembali dalam bentuk sinus dan kosinus, kemudian batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Pindahkan tanda kurung.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (- 1 \tan (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Langkah 3.2.1.2

Susun kembali $\cos (x)$ dan $- 1 \tan (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 \tan (x) \cos (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Langkah 3.2.1.3

Tambahkan tanda kurung.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 (\tan (x) \cos (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Langkah 3.2.1.4

Tulis kembali $\cos (x) (- 1 \tan (x) y)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Langkah 3.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 \sin (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $- 1 \sin (x)$ sebagai $- \sin (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Langkah 3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = - 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - y \sin (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) y] = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\cos (x) y] d x = \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\cos (x) y = \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$\cos (x) y = - 2 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Langkah 7.2

Biarkan $u = \cos (x)$ . Kemudian $d u = - \sin (x) d x$ sehingga $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Biarkan $u = \cos (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Diferensialkan $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 7.2.1.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Langkah 7.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\cos (x) y = - 2 \int - u d u$

Langkah 7.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\cos (x) y = - 2 (- \int u d u)$

Langkah 7.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\cos (x) y = 2 \int u d u$

Langkah 7.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\cos (x) y = 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$\cos (x) y = 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Langkah 7.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\cos (x) y = \frac{2}{2} u^{2} + C$

Langkah 7.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\cos (x) y = \frac{2}{2} u^{2} + C$

Langkah 7.6.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\cos (x) y = 1 u^{2} + C$

Langkah 7.6.2.3

Kalikan $u^{2}$ dengan $1$ .

$\cos (x) y = u^{2} + C$

Langkah 7.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$ dengan $\cos (x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$ dengan $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) y}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\cos (x) y}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $\cos^{2} (x)$ dan $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Faktorkan $\cos (x)$ dari $\cos^{2} (x)$ .

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Langkah 8.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{C}{\cos (x)}$

Langkah 8.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{C}{\cos (x)}$

Langkah 8.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\cos (x)}$

Langkah 8.3.1.1.2.4

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$y = \cos (x) + \frac{C}{\cos (x)}$

Langkah 8.3.1.2

Pisahkan pecahan.

$y = \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 8.3.1.3

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$y = \cos (x) + \frac{C}{1} \sec (x)$

Langkah 8.3.1.4

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$y = \cos (x) + C \sec (x)$