Kalkulus Contoh

$(x + y e^{2 x y}) d x + 1 x e^{2 x y} d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x + y e^{2 x y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y e^{2 x y}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y e^{2 x y}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$

Langkah 1.2.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = y$ dan $g (y) = e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{2 x y}] + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = e^{y}$ dan $g (y) = 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.3

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \frac{d}{d y} [y])) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \cdot 1)) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \cdot 1)) + e^{2 x y} \cdot 1$

Langkah 1.3.6

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y} \cdot 1$

Langkah 1.3.7

Kalikan $e^{2 x y}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Tambahkan $0$ dan $y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$

Langkah 1.4.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$

Langkah 1.4.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 1 x e^{2 x y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 x e^{2 x y}]$

Langkah 2.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{2 x y}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{2 x y}] + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $x$ adalah $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y \cdot 1)) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.5.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.5.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} \cdot 1$

Langkah 2.5.5

Kalikan $e^{2 x y}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y}$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$

Langkah 2.6.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 1 x e^{2 x y} d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = 1 x e^{2 x y}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f (x, y) = \int x e^{2 x y} d y$

Langkah 5.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $x$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x \int e^{2 x y} d y$

Langkah 5.3

Biarkan $u = 2 x y$ . Kemudian $d u = 2 x d y$ sehingga $\frac{1}{2 x} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Biarkan $u = 2 x y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Diferensialkan $2 x y$ .

$\frac{d}{d y} [2 x y]$

Langkah 5.3.1.2

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 x \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 5.3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x \cdot 1$

Langkah 5.3.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 x$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$f (x, y) = x \int e^{u} \frac{1}{2 x} d u$

Langkah 5.4

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2 x}$ .

$f (x, y) = x \int \frac{e^{u}}{2 x} d u$

Langkah 5.5

Karena $\frac{1}{2 x}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2 x}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x (\frac{1}{2 x} \int e^{u} d u)$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Gabungkan $\frac{1}{2 x}$ dan $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2 x} \int e^{u} d u$

Langkah 5.6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{x}{2 x} \int e^{u} d u$

Langkah 5.6.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Langkah 5.7

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Langkah 5.8

Sederhanakan.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{u} + C$

Langkah 5.9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x y$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x + y e^{2 x y}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{2} e^{2 x y}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x y}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x y$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Langkah 8.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Langkah 8.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x y$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Langkah 8.3.3

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $x$ adalah $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Langkah 8.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Langkah 8.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Langkah 8.3.6

Gabungkan $e^{2 x y}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{2 x y}}{2} (2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Langkah 8.3.7

Gabungkan $2$ dan $\frac{e^{2 x y}}{2}$ .

$\frac{2 e^{2 x y}}{2} y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Langkah 8.3.8

Gabungkan $\frac{2 e^{2 x y}}{2}$ dan $y$ .

$\frac{2 e^{2 x y} y}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Langkah 8.3.9

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 e^{2 x y} y}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Langkah 8.3.9.2

Bagilah $e^{2 x y} y$ dengan $1$ .

$e^{2 x y} y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{2 x y} y + \frac{d g}{d x} = x + y e^{2 x y}$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x y} y = x + y e^{2 x y}$

Langkah 8.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d x} + e^{2 x y} y$ .

$\frac{d g}{d x} + y e^{2 x y} = x + y e^{2 x y}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $y e^{2 x y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = x + y e^{2 x y} - y e^{2 x y}$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $x + y e^{2 x y} - y e^{2 x y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangi $y e^{2 x y}$ dengan $y e^{2 x y}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Langkah 10

Temukan $x$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Langkah 10.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x y}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x y}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x y}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$