Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 3 x {(y + 4)}^{2}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{{(y + 4)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 4)}^{2}} (3 x {(y + 4)}^{2})$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{{(y + 4)}^{2}} (x {(y + 4)}^{2})$

Langkah 1.2.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{{(y + 4)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{{(y + 4)}^{2}} (x {(y + 4)}^{2})$

Langkah 1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari ${(y + 4)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Faktorkan ${(y + 4)}^{2}$ dari $x {(y + 4)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{{(y + 4)}^{2}} ({(y + 4)}^{2} x)$

Langkah 1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{{(y + 4)}^{2}} ({(y + 4)}^{2} x)$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 3 x$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} d y = 3 x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{{(y + 4)}^{2}} d y = \int 3 x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = y + 4$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = y + 4$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 4$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Langkah 2.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

Langkah 2.2.1.1.4

Karena $4$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $4$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int 3 x d x$

Langkah 2.2.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Pindahkan $u^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int 3 x d x$

Langkah 2.2.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int 3 x d x$

Langkah 2.2.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int 3 x d x$

Langkah 2.2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- 2}$ terhadap $u$ adalah $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int 3 x d x$

Langkah 2.2.4

Tulis kembali $- u^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int 3 x d x$

Langkah 2.2.5

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y + 4$ .

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = \int 3 x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = 3 \int x d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ sebagai $3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = \frac{3}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{y + 4} = \frac{3}{2} x^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x^{2}$ .

$- \frac{1}{y + 4} = \frac{3 x^{2}}{2} + K$

Langkah 3.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y + 4, 2, 1$

Langkah 3.2.2

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 3.2.3

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 3.2.4

Karena $2$ tidak memiliki faktor selain $1$ dan $2$ .

$2$ adalah bilangan prima

Langkah 3.2.5

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 3.2.6

KPK dari $1, 2, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$2$

Langkah 3.2.7

Faktor untuk $y + 4$ adalah $y + 4$ itu sendiri.

$(y + 4) = y + 4$

$(y + 4)$ terjadi $1$ kali.

Langkah 3.2.8

KPK dari $y + 4$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor dengan frekuensi terbanyak yang muncul dalam kedua pernyataan tersebut.

$y + 4$

Langkah 3.2.9

Kelipatan Persekutuan Terkecil $LCM$ dari beberapa bilangan adalah bilangan terkecil yang menjadi faktor.

$2 (y + 4)$

Langkah 3.3

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{y + 4} = \frac{3 x^{2}}{2} + K$ dengan $2 (y + 4)$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{y + 4} = \frac{3 x^{2}}{2} + K$ dengan $2 (y + 4)$ .

$- \frac{1}{y + 4} (2 (y + 4)) = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y + 4}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{y + 4} (2 (y + 4)) = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Langkah 3.3.2.1.2

Faktorkan $y + 4$ dari $2 (y + 4)$ .

$\frac{- 1}{y + 4} ((y + 4) \cdot 2) = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Langkah 3.3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{y + 4} ((y + 4) \cdot 2) = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Langkah 3.3.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \cdot 2 = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 2 = 2 \frac{3 x^{2}}{2} (y + 4) + K (2 (y + 4))$

Langkah 3.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 = 2 \frac{3 x^{2}}{2} (y + 4) + K (2 (y + 4))$

Langkah 3.3.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 = 3 x^{2} (y + 4) + K (2 (y + 4))$

Langkah 3.3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$- 2 = 3 x^{2} y + 3 x^{2} \cdot 4 + K (2 (y + 4))$

Langkah 3.3.3.1.4

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$- 2 = 3 x^{2} y + 12 x^{2} + K (2 (y + 4))$

Langkah 3.3.3.1.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 2 = 3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K (y + 4)$

Langkah 3.3.3.1.6

Terapkan sifat distributif.

$- 2 = 3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K y + 2 K \cdot 4$

Langkah 3.3.3.1.7

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$- 2 = 3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K y + 8 K$

Langkah 3.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K y + 8 K = - 2$ .

$3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K y + 8 K = - 2$

Langkah 3.4.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kurangkan $12 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x^{2} y + 2 K y + 8 K = - 2 - 12 x^{2}$

Langkah 3.4.2.2

Kurangkan $8 K$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x^{2} y + 2 K y = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$

Langkah 3.4.3

Faktorkan $y$ dari $3 x^{2} y + 2 K y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Faktorkan $y$ dari $3 x^{2} y$ .

$y (3 x^{2}) + 2 K y = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$

Langkah 3.4.3.2

Faktorkan $y$ dari $2 K y$ .

$y (3 x^{2}) + y (2 K) = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$

Langkah 3.4.3.3

Faktorkan $y$ dari $y (3 x^{2}) + y (2 K)$ .

$y (3 x^{2} + 2 K) = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$

Langkah 3.4.4

Bagi setiap suku pada $y (3 x^{2} + 2 K) = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$ dengan $3 x^{2} + 2 K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Bagilah setiap suku di $y (3 x^{2} + 2 K) = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$ dengan $3 x^{2} + 2 K$ .

$\frac{y (3 x^{2} + 2 K)}{3 x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 x^{2} + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (3 x^{2} + 2 K)}{3 x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.4.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 2}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{2}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.4.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{2}{3 x^{2} + 2 K} - \frac{12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.4.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{2}{3 x^{2} + 2 K} - \frac{12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} - \frac{8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.4.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{- 2 - 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} - \frac{8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.4.3.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{- 2 - 12 x^{2} - 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.4.3.2.3

Faktorkan $2$ dari $- 2 - 12 x^{2} - 8 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$y = \frac{2 (- 1) - 12 x^{2} - 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.4.3.2.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 12 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (- 1) + 2 (- 6 x^{2}) - 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.4.3.2.3.3

Faktorkan $2$ dari $- 8 K$ .

$y = \frac{2 (- 1) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 (- 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.4.3.2.3.4

Faktorkan $2$ dari $2 (- 1) + 2 (- 6 x^{2})$ .

$y = \frac{2 (- 1 - 6 x^{2}) + 2 (- 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.4.3.2.3.5

Faktorkan $2$ dari $2 (- 1 - 6 x^{2}) + 2 (- 4 K)$ .

$y = \frac{2 (- 1 - 6 x^{2} - 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.4.3.2.4

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1) - 6 x^{2} - 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.4.3.2.5

Faktorkan $- 1$ dari $- 6 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1) - (6 x^{2}) - 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.4.3.2.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (6 x^{2})$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1 + 6 x^{2}) - 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.4.3.2.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 4 K$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1 + 6 x^{2}) - (4 K))}{3 x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.4.3.2.8

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1 + 6 x^{2}) - (4 K)$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1 + 6 x^{2} + 4 K))}{3 x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.4.3.2.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{2 (1 + 6 x^{2} + 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - \frac{2 (1 + 6 x^{2} + K)}{3 x^{2} + K}$