Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} - 6 y = x^{2}$ , $y (1) = 10$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} - 6 y = x^{2}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Langkah 1.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

Langkah 1.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Langkah 1.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Langkah 1.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x}{1}$

Langkah 1.3.2.5

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = x$

Langkah 1.4

Faktorkan $y$ dari $\frac{- 6 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 6}{x} = x$

Langkah 1.5

Susun kembali $y$ dan $\frac{- 6}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6}{x} y = x$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{- 6}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{- 6}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{- 6}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$e^{\int - \frac{6}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{6}{x} d x}$

Langkah 2.2.3

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$e^{- (6 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 2.2.4

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- 6 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$e^{- 6 \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 6 \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 6})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 6}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{6}}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x^{6}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{1}{x^{6}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{6}} (\frac{- 6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} x$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{6}}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}} (\frac{- 6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} x$

Langkah 3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}} (- \frac{6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} x$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{1}{x^{6}} (\frac{6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} x$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $\frac{6}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{6 y}{x} = \frac{1}{x^{6}} x$

Langkah 3.2.5

Kalikan $- \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{6 y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Kalikan $\frac{6 y}{x}$ dengan $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x \cdot x^{6}} = \frac{1}{x^{6}} x$

Langkah 3.2.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{6}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{1} x^{6}} = \frac{1}{x^{6}} x$

Langkah 3.2.5.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{1 + 6}} = \frac{1}{x^{6}} x$

Langkah 3.2.5.2.2

Tambahkan $1$ dan $6$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{7}} = \frac{1}{x^{6}} x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{6}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{7}} = \frac{1}{x \cdot x^{5}} x$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{7}} = \frac{1}{x \cdot x^{5}} x$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{7}} = \frac{1}{x^{5}}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}} y] = \frac{1}{x^{5}}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}} y] d x = \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x^{6}} y = \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Pindahkan $x^{5}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Langkah 7.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Langkah 7.1.2.2

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = \int x^{- 5} d x$

Langkah 7.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 5}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{4} x^{- 4} + C$

Langkah 7.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Tulis kembali $- \frac{1}{4} x^{- 4} + C$ sebagai $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}} + C$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}} + C$

Langkah 7.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{x^{4}}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{x^{4} \cdot 4} + C$

Langkah 7.3.2.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Tambahkan $\frac{1}{4 x^{4}}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{1}{x^{6}} y + \frac{1}{4 x^{4}} = C$

Langkah 8.1.2

Kurangkan $C$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1}{x^{6}} y + \frac{1}{4 x^{4}} - C = 0$

Langkah 8.1.3

Gabungkan $\frac{1}{x^{6}}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x^{6}} + \frac{1}{4 x^{4}} - C = 0$

Langkah 8.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Kurangkan $\frac{1}{4 x^{4}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y}{x^{6}} - C = - \frac{1}{4 x^{4}}$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $C$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{y}{x^{6}} = - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Langkah 8.3

Kalikan kedua ruas dengan $x^{6}$ .

$\frac{y}{x^{6}} x^{6} = (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{6}$

Langkah 8.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x^{6}} x^{6} = (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{6}$

Langkah 8.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{6}$

Langkah 8.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Sederhanakan $(- \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{1}{4 x^{4}} x^{6} + C x^{6}$

Langkah 8.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{4 x^{4}}$ ke dalam pembilangnya.

$y = \frac{- 1}{4 x^{4}} x^{6} + C x^{6}$

Langkah 8.4.2.1.2.2

Faktorkan $x^{4}$ dari $4 x^{4}$ .

$y = \frac{- 1}{x^{4} \cdot 4} x^{6} + C x^{6}$

Langkah 8.4.2.1.2.3

Faktorkan $x^{4}$ dari $x^{6}$ .

$y = \frac{- 1}{x^{4} \cdot 4} (x^{4} x^{2}) + C x^{6}$

Langkah 8.4.2.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{- 1}{x^{4} \cdot 4} (x^{4} x^{2}) + C x^{6}$

Langkah 8.4.2.1.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{- 1}{4} x^{2} + C x^{6}$

Langkah 8.4.2.1.3

Gabungkan $\frac{- 1}{4}$ dan $x^{2}$ .

$y = \frac{- x^{2}}{4} + C x^{6}$

Langkah 8.4.2.1.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.4.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + C x^{6}$

Langkah 8.4.2.1.4.2

Susun kembali $- \frac{x^{2}}{4}$ dan $C x^{6}$ .

$y = C x^{6} - \frac{x^{2}}{4}$

Langkah 9

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $10$ untuk $y$ padda $y = C x^{6} - \frac{x^{2}}{4}$ .

$10 = C \cdot 1^{6} - \frac{1^{2}}{4}$

Langkah 10

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C \cdot 1^{6} - \frac{1^{2}}{4} = 10$ .

$C \cdot 1^{6} - \frac{1^{2}}{4} = 10$

Langkah 10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$C \cdot 1 - \frac{1^{2}}{4} = 10$

Langkah 10.2.2

Kalikan $C$ dengan $1$ .

$C - \frac{1^{2}}{4} = 10$

Langkah 10.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$C - \frac{1}{4} = 10$

Langkah 10.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Tambahkan $\frac{1}{4}$ ke kedua sisi persamaan.

$C = 10 + \frac{1}{4}$

Langkah 10.3.2

Untuk menuliskan $10$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$C = 10 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Langkah 10.3.3

Gabungkan $10$ dan $\frac{4}{4}$ .

$C = \frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Langkah 10.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$C = \frac{10 \cdot 4 + 1}{4}$

Langkah 10.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.5.1

Kalikan $10$ dengan $4$ .

$C = \frac{40 + 1}{4}$

Langkah 10.3.5.2

Tambahkan $40$ dan $1$ .

$C = \frac{41}{4}$

Langkah 11

Substitusikan $\frac{41}{4}$ untuk $C$ dalam $y = C x^{6} - \frac{x^{2}}{4}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Substitusikan $\frac{41}{4}$ untuk $C$ .

$y = \frac{41}{4} x^{6} - \frac{x^{2}}{4}$

Langkah 11.2

Gabungkan $\frac{41}{4}$ dan $x^{6}$ .

$y = \frac{41 x^{6}}{4} - \frac{x^{2}}{4}$