Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} - \frac{3 y}{x} = x^{4}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $y$ dari $- \frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{3}{x}) = x^{4}$

Langkah 1.2

Susun kembali $y$ dan $- \frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{3}{x} y = x^{4}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - \frac{3}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $- \frac{3}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 2.2.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 3 \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 3})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 3}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{3}}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

Langkah 3.2.3

Gabungkan $\frac{3}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

Langkah 3.2.4

Kalikan $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Kalikan $\frac{3 y}{x}$ dengan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

Langkah 3.2.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

Langkah 3.2.4.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

Langkah 3.2.4.2.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $x^{3}$ dari $x^{4}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (x^{3} x)$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (x^{3} x)$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = x$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] = x$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] d x = \int x d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x^{3}} y = \int x d x$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{3}}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x^{3}} = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{3}} = \frac{x^{2}}{2} + C$

Langkah 8.3

Kalikan kedua ruas dengan $x^{3}$ .

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$

Langkah 8.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$

Langkah 8.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$

Langkah 8.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Sederhanakan $(\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{x^{2}}{2} x^{3} + C x^{3}$

Langkah 8.4.2.1.2

Kalikan $\frac{x^{2}}{2} x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.2.1

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{2} x^{3}}{2} + C x^{3}$

Langkah 8.4.2.1.2.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.2.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{x^{2 + 3}}{2} + C x^{3}$

Langkah 8.4.2.1.2.2.2

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$y = \frac{x^{5}}{2} + C x^{3}$