Kalkulus Contoh

$2 x (1 + y^{2}) d x + y (1 + x^{2}) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $2 x (1 + y^{2}) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y (1 + x^{2}) d y = - 2 x (1 + y^{2}) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $1 + x^{2}$ dari $y (1 + x^{2})$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Langkah 3.2

Gabungkan $\frac{1}{1 + y^{2}}$ dan $y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = - 2 \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Langkah 3.4

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Langkah 3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $1 + y^{2}$ dari $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Langkah 3.5.2

Faktorkan $1 + y^{2}$ dari $x (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Langkah 3.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Langkah 3.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{1 + x^{2}} x d x$

Langkah 3.6

Gabungkan $\frac{- 2}{1 + x^{2}}$ dan $x$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Biarkan $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Kemudian $d u_{1} = 2 y d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Biarkan $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Diferensialkan $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Langkah 4.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 4.2.1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 4.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Langkah 4.2.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 y$ .

$2 y$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u_{1}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.2.4

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.2.6

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)$

Langkah 4.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.3.4

Biarkan $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Biarkan $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.1

Diferensialkan $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 4.3.4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.3.4.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.3.4.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Langkah 4.3.4.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$2 x$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 4.3.5.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 4.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.7.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.7.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.7.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.8

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Langkah 4.3.9

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 4.3.10

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Langkah 5.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $2 (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} |)) + 2 C$

Langkah 5.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C$

Langkah 5.3

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + 2 \ln (| 1 + x^{2} |) = 2 C$

Langkah 5.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan $\ln (| 1 + y^{2} |) + 2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln ({| 1 + x^{2} |}^{2}) = 2 C$

Langkah 5.4.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| 1 + x^{2} |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln ({(1 + x^{2})}^{2}) = 2 C$

Langkah 5.4.1.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}) = 2 C$

Langkah 5.5

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2})} = e^{2 C}$

Langkah 5.6

Tulis kembali $\ln (| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}) = 2 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}$

Langkah 5.7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C}$ .

$| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C}$

Langkah 5.7.2

Bagi setiap suku pada $| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C}$ dengan ${(1 + x^{2})}^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1

Bagilah setiap suku di $| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C}$ dengan ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} = \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 5.7.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| 1 + y^{2} | {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} = \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 5.7.2.2.1.2

Bagilah $| 1 + y^{2} |$ dengan $1$ .

$| 1 + y^{2} | = \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 5.7.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 5.7.4

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1$

Langkah 5.7.5

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 C}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1}$

Langkah 6

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{C}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1}$

Langkah 6.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = \pm \sqrt{C \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1}$