Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} - 3 y = x^{2}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} - 3 y = x^{2}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Langkah 1.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

Langkah 1.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Langkah 1.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Langkah 1.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x}{1}$

Langkah 1.3.2.5

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = x$

Langkah 1.4

Faktorkan $y$ dari $\frac{- 3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 3}{x} = x$

Langkah 1.5

Susun kembali $y$ dan $\frac{- 3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3}{x} y = x$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{- 3}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{- 3}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{- 3}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Langkah 2.2.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 2.2.4

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 3 \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 3})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 3}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (\frac{- 3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{3}}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (\frac{- 3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x$

Langkah 3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $\frac{3}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{1}{x^{3}} x$

Langkah 3.2.5

Kalikan $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Kalikan $\frac{3 y}{x}$ dengan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} x$

Langkah 3.2.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} x$

Langkah 3.2.5.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} x$

Langkah 3.2.5.2.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x \cdot x^{2}} x$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x \cdot x^{2}} x$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] = \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x^{3}} y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 7.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 7.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \int x^{- 2} d x$

Langkah 7.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - x^{- 1} + C$

Langkah 7.3

Tulis kembali $- x^{- 1} + C$ sebagai $- \frac{1}{x} + C$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - \frac{1}{x} + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Tambahkan $\frac{1}{x}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{1}{x^{3}} y + \frac{1}{x} = C$

Langkah 8.1.2

Kurangkan $C$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1}{x^{3}} y + \frac{1}{x} - C = 0$

Langkah 8.1.3

Gabungkan $\frac{1}{x^{3}}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x^{3}} + \frac{1}{x} - C = 0$

Langkah 8.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Kurangkan $\frac{1}{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y}{x^{3}} - C = - \frac{1}{x}$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $C$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{y}{x^{3}} = - \frac{1}{x} + C$

Langkah 8.3

Kalikan kedua ruas dengan $x^{3}$ .

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (- \frac{1}{x} + C) x^{3}$

Langkah 8.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (- \frac{1}{x} + C) x^{3}$

Langkah 8.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (- \frac{1}{x} + C) x^{3}$

Langkah 8.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Sederhanakan $(- \frac{1}{x} + C) x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{1}{x} x^{3} + C x^{3}$

Langkah 8.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x}$ ke dalam pembilangnya.

$y = \frac{- 1}{x} x^{3} + C x^{3}$

Langkah 8.4.2.1.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$y = \frac{- 1}{x} (x \cdot x^{2}) + C x^{3}$

Langkah 8.4.2.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{- 1}{x} (x \cdot x^{2}) + C x^{3}$

Langkah 8.4.2.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - 1 x^{2} + C x^{3}$

Langkah 8.4.2.1.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.3.1

Tulis kembali $- 1 x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + C x^{3}$

Langkah 8.4.2.1.3.2

Susun kembali $- x^{2}$ dan $C x^{3}$ .

$y = C x^{3} - x^{2}$