Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} = 2 - \frac{3 y}{25 + 2 t}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tambahkan $\frac{3 y}{25 + 2 t}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{25 + 2 t} = 2$

Langkah 1.1.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{2 t + 25} = 2$

Langkah 1.2

Faktorkan $y$ dari $\frac{3 y}{2 t + 25}$ .

$\frac{d y}{d t} + y \frac{3}{2 t + 25} = 2$

Langkah 1.3

Susun kembali $y$ dan $\frac{3}{2 t + 25}$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{3}{2 t + 25} y = 2$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (t) d t}$ , di mana $P (t) = \frac{3}{2 t + 25}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{3}{2 t + 25} d t}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{3}{2 t + 25}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$e^{3 \int \frac{1}{2 t + 25} d t}$

Langkah 2.2.2

Biarkan $u = 2 t + 25$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Biarkan $u = 2 t + 25$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Diferensialkan $2 t + 25$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

Langkah 2.2.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 t + 25$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

Langkah 2.2.2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

Langkah 2.2.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

Langkah 2.2.2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

Langkah 2.2.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.4.1

Karena $25$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $25$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 2.2.2.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Langkah 2.2.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$e^{3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Langkah 2.2.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Langkah 2.2.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $3$ .

$e^{\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Langkah 2.2.6

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$e^{\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Langkah 2.2.7

Sederhanakan.

$e^{\frac{3}{2} \ln (| u |) + C}$

Langkah 2.2.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 t + 25$ .

$e^{\frac{3}{2} \ln (| 2 t + 25 |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\frac{3}{2} \ln (2 t + 25)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln ({(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (\frac{3}{2 t + 25} y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{3}{2 t + 25}$ dan $y$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{3 y}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Langkah 3.2.2

Gabungkan ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ dan $\frac{3 y}{2 t + 25}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $2 t + 25$ dari ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Langkah 3.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Kalikan dengan $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Langkah 3.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Langkah 3.2.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)}{1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Langkah 3.2.4.4

Bagilah ${(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)$ dengan $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Langkah 3.2.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Langkah 3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 \cdot {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 y {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] d t = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Langkah 7.2

Biarkan $u = 2 t + 25$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Biarkan $u = 2 t + 25$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Diferensialkan $2 t + 25$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

Langkah 7.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 t + 25$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

Langkah 7.2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

Langkah 7.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

Langkah 7.2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

Langkah 7.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.4.1

Karena $25$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $25$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 7.2.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 7.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Langkah 7.3

Gabungkan $u^{\frac{3}{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Langkah 7.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 7.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 7.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 1 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 7.5.3

Kalikan $\int u^{\frac{3}{2}} d u$ dengan $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 7.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 7.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 t + 25$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ dengan ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ dengan ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 8.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 8.3.2

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan ${(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 8.3.3

Untuk menuliskan $C$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C \cdot \frac{5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 8.3.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.4.1

Gabungkan $C$ dan $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 8.3.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 8.3.5

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $C$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 8.3.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5} \cdot \frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 8.3.7

Kalikan $\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}$ dengan $\frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$