Kalkulus Contoh

$\frac{d u}{d t} = \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d u}{d t} = \frac{u + 1}{u + 2} \cdot \frac{t + 1}{t - 1}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{u + 2}{u + 1}$ .

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} (\frac{u + 1}{u + 2} \cdot \frac{t + 1}{t - 1})$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $\frac{u + 1}{u + 2}$ dengan $\frac{t + 1}{t - 1}$ .

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $u + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

Langkah 1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{t - 1}$

Langkah 1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $u + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{t - 1}$

Langkah 1.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{t + 1}{t - 1}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{u + 2}{u + 1} d u = \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{u + 2}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagilah $u + 2$ dengan $u + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$u$

$1$

$u$

$2$

Langkah 2.2.1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $u$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $u$ .

					$1$
	$u$	+	$1$		$u$	+	$2$

Langkah 2.2.1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			+	$u$	+	$1$

Langkah 2.2.1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $u + 1$

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$1$

Langkah 2.2.1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$1$
					+	$1$

Langkah 2.2.1.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int 1 + \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Langkah 2.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d u + \int \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Langkah 2.2.3

Terapkan aturan konstanta.

$u + C_{1} + \int \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Langkah 2.2.4

Biarkan $u_{1} = u + 1$ . Kemudian $d u_{1} = d u$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Biarkan $u_{1} = u + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1.1

Diferensialkan $u + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u + 1]$

Langkah 2.2.4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $u + 1$ terhadap $u$ adalah $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

Langkah 2.2.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u} [1]$

Langkah 2.2.4.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $u$ , turunan dari $1$ terhadap $u$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.4.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$u + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$u + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$u + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Langkah 2.2.7

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $u + 1$ .

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah $t + 1$ dengan $t - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$t$

$1$

$t$

$1$

Langkah 2.3.1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $t$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $t$ .

					$1$
	$t$	-	$1$		$t$	+	$1$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			+	$t$	-	$1$

Langkah 2.3.1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $t - 1$

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			-	$t$	+	$1$

Langkah 2.3.1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			-	$t$	+	$1$
					+	$2$

Langkah 2.3.1.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int 1 + \frac{2}{t - 1} d t$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int d t + \int \frac{2}{t - 1} d t$

Langkah 2.3.3

Terapkan aturan konstanta.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + \int \frac{2}{t - 1} d t$

Langkah 2.3.4

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 \int \frac{1}{t - 1} d t$

Langkah 2.3.5

Biarkan $u_{2} = t - 1$ . Kemudian $d u_{2} = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Biarkan $u_{2} = t - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1

Diferensialkan $t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [t - 1]$

Langkah 2.3.5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t - 1$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.3.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.3.5.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.3.5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.3.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.6

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + 2 \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

Langkah 2.3.8

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $t - 1$ .

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + 2 \ln (| t - 1 |) + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$u + \ln (| u + 1 |) = t + 2 \ln (| t - 1 |) + C$