Kalkulus Contoh

$\frac{d s}{d t} = 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12})$ , $s (0) = 3$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d s = 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d s = \int 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$s + C_{1} = \int 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $8$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u_{1} = t + \frac{π}{12}$ . Kemudian $d u_{1} = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u_{1} = t + \frac{π}{12}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $t + \frac{π}{12}$ .

$\frac{d}{d t} [t + \frac{π}{12}]$

Langkah 2.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t + \frac{π}{12}$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$

Langkah 2.3.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$

Langkah 2.3.2.1.4

Karena $\frac{π}{12}$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $\frac{π}{12}$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.3.2.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 2.3.3

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\sin^{2} (u_{1})$ sebagai $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $8$ .

$s + C_{1} = \frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 2.3.5.2

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 2.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 2.3.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 2.3.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$s + C_{1} = \frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 2.3.5.2.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$s + C_{1} = 4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 2.3.6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$s + C_{1} = 4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 2.3.7

Terapkan aturan konstanta.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 2.3.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 2.3.9

Biarkan $u_{2} = 2 u_{1}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.1

Biarkan $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.1.1

Diferensialkan $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Langkah 2.3.9.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $2 u_{1}$ terhadap $u_{1}$ adalah $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 2.3.9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 2.3.9.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 2.3.9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Langkah 2.3.10

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Langkah 2.3.11

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Langkah 2.3.12

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C_{3}))$

Langkah 2.3.13

Sederhanakan.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Langkah 2.3.14

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.14.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $t + \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Langkah 2.3.14.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 u_{1}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C_{4}$

Langkah 2.3.14.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $t + \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 (t + \frac{π}{12}))) + C_{4}$

Langkah 2.3.15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.15.1

Terapkan sifat distributif.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{12})) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.15.2.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{2 (6)})) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{2 \cdot 6})) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + \frac{π}{6})) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.3

Gabungkan $\sin (2 t + \frac{π}{6})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.4

Terapkan sifat distributif.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{12} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.15.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.15.5.1.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{4 (3)} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{4 \cdot 3} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.5.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.15.5.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 4 \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.15.5.2.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 (2) \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.15.5.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.15.5.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 (- \sin (2 t + \frac{π}{6})) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $t$ dan $3$ untuk $s$ padda $s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$ .

$3 = 4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 3$ .

$4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 3$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan $4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 3$

Langkah 4.2.1.1.2

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (0 + \frac{π}{6}) + K = 3$

Langkah 4.2.1.1.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{π}{6}$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{6}) + K = 3$

Langkah 4.2.1.1.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 (\frac{1}{2}) + K = 3$

Langkah 4.2.1.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.5.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$0 + \frac{π}{3} + 2 (- 1) \frac{1}{2} + K = 3$

Langkah 4.2.1.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$0 + \frac{π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} + K = 3$

Langkah 4.2.1.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$0 + \frac{π}{3} - 1 + K = 3$

Langkah 4.2.1.2

Tambahkan $0$ dan $\frac{π}{3}$ .

$\frac{π}{3} - 1 + K = 3$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $\frac{π}{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 1 + K = 3 - \frac{π}{3}$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$K = 3 - \frac{π}{3} + 1$

Langkah 4.3.3

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$K = 4 - \frac{π}{3}$

Langkah 5

Substitusikan $4 - \frac{π}{3}$ untuk $K$ dalam $s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $4 - \frac{π}{3}$ untuk $K$ .

$s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4 - \frac{π}{3}$

Langkah 5.2

Gabungkan suku balikan dalam $4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4 - \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$s = 4 t + \frac{π - π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4$

Langkah 5.2.2

Kurangi $π$ dengan $π$ .

$s = 4 t + \frac{0}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4$

Langkah 5.3

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$s = 4 t + 0 - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4$

Langkah 5.4

Tambahkan $4 t$ dan $0$ .

$s = 4 t - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4$