Kalkulus Contoh

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d y}{d x}$

Langkah 1

Biarkan $v = \frac{d y}{d x}$ . Kemudian $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Substitusikan $v$ untuk $\frac{d y}{d x}$ dan $\frac{d v}{d x}$ untuk $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ untuk mendapatkan persamaan diferensial dengan variabel dependen $v$ dan variabel independen $x$ .

$\frac{d v}{d x} = v$

Langkah 2

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

Langkah 2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = 1$

Langkah 2.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{v} d v = 1 d x$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{v} d v = \int d x$

Langkah 3.2

Integral dari $\frac{1}{v}$ terhadap $v$ adalah $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int d x$

Langkah 3.3

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| v |) + C_{1} = x + C_{2}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = x + C_{3}$

Langkah 4

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menyelesaikan $v$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| v |)} = e^{x + C_{3}}$

Langkah 4.2

Tulis kembali $\ln (| v |) = x + C_{3}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{x + C_{3}} = | v |$

Langkah 4.3

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| v | = e^{x + C_{3}}$ .

$| v | = e^{x + C_{3}}$

Langkah 4.3.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{x + C_{3}}$

Langkah 5

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $e^{x + C_{3}}$ sebagai $e^{x} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{x} e^{C_{3}}$

Langkah 5.2

Susun kembali $e^{x}$ dan $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{x}$

Langkah 5.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$v = C_{4} e^{x}$

Langkah 6

Ganti semua kemunculan $v$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{x}$

Langkah 7

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = C_{4} e^{x} d x$

Langkah 8

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int C_{4} e^{x} d x$

Langkah 8.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{x} d x$

Langkah 8.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $C_{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $C_{4}$ keluar dari integral.

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{x} d x$

Langkah 8.3.2

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (e^{x} + C_{6})$

Langkah 8.3.3

Sederhanakan.

$y + C_{5} = C_{4} e^{x} + C_{7}$

Langkah 8.3.4

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{5} = e^{x} C_{4} + C_{7}$

Langkah 8.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $D$ .

$y = e^{x} C + D$